Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти наибольшее значение производной по направлению от функции в точке и направление в котором оно достигается.
Условие:
Найти наибольшее значение производной по направлению от функции в точке и направление в котором оно достигается.
Решение:
Предмет: Математика
Раздел предмета: Математический анализ (Многофункциональный анализ и дифференциальное исчисление)
Для нахождения наибольшего значения производной по направлению от функции \( u = 2x + y^2 z^3 \) в точке \( M_0(-1, 1, -1) \) и направления, в котором она достигается, нам нужно найти градиент функции.1. Найдём частные производные функции \( u \):
\[ u = 2x + y^2 z^3 \] Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2 \] Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2yz^3 \] Частная производная по \( z \): \[ \frac{\partial u}{\partial z} = 3y^2z^2 \]2. Найдём градиент функции \( u \) в точке \( M_0 \):
Градиент функции \( \nabla u \) — это вектор, состоящий из частных производных. \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \] Подставим координаты точки \( M_0(-1, 1, -1) \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{M_0} = 2 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} \bigg|_{M_0} = 2 \cdot 1 \cdot (-1)^3 = -2 \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} \bigg|_{M_0} = 3 \cdot 1^2 \cdot (-1)^2 = 3 \] Градиент функции в точке \( M_0 \): \[ \nabla u \bigg|_{M_0} = (2, -2, 3) \]3. Найдём наибольшее значение производной по направлению:
Наибольшее значение производной по направлению достигается в направлении градиента и равно норме градиента. Норма градиента вычисляется как: \[ \| \nabla u \| = \sqrt{ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2} \] Подставляем значения: \[ \| \nabla u \| = \sqrt{ 2^2 + (-2)^2 + 3^2 } = \sqrt{ 4 + 4 + 9 } = \sqrt{ 17 } \]4. Результат:
Наибольшее значение производной по направлению от функции в точке \( M_0(-1, 1, -1) \) равно \( \sqrt{17} \), и оно достигается в направлении градиента \( \nabla u = (2, -2, 3) \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку