Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном интервале. [-3;6]

Это задание по математике, а именно из раздела "Исследование функций." Давайте найдем наибольшее и наименьшее значения функции $\text{(}y=x^3+9x^2-21x+14\text{)}$ на интервале от $\text{(}[-3\text{)};\text{(}6]\text{)}$.

1. Найдем производную $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$ функции $\text{(}y=x^3+9x^2-21x+14\text{)}$:

$\text{[}{y}^{\prime }=\frac{d}{dx}(x^3+9x^2-21x+14)=3x^2+18x-21.\text{]}$

2. Найдем критические точки производной, приравняв её к нулю:

$\text{[}3x^2+18x-21=0.\text{]}$

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$\text{[}D=b^2-4ac={18}^2-4\cdot 3\cdot (-21)=324+252=576.\text{]}$

Теперь найдем корни уравнения:

$\text{[}{x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-18\pm \sqrt{576}}{6}=\frac{-18\pm 24}{6}.\text{]}$

$\text{[}{x}_1=\frac{-18+24}{6}=1,\text{]}$

$\text{[}{x}_2=\frac{-18-24}{6}=-7.\text{]}$

Однако $\text{(}{x}_2=-7\text{)}$ не входит в заданный промежуток $\text{(}[-3,6]\text{)}$, поэтому рассматриваем только $\text{(}{x}_1=1\text{)}$.

3. Вычислим значения функции $\text{(}y\text{)}$ в критических точках и на концах интервала.

На концах интервала:

$\text{[}y(-3)=(-3{)}^3+9(-3{)}^2-21(-3)+14=-27+81+63+14=131.\text{]}$

$\text{[}y(6)=6^3+9\cdot 6^2-21\cdot 6+14=216+324-126+14=428.\text{]}$

В критической точке:

$\text{[}y(1)=(1{)}^3+9(1{)}^2-21(1)+14=1+9-21+14=3.\text{]}$

Теперь сопоставим полученные значения. На интервале $\text{(}[-3,6]\text{)}$:

• $\text{(}y(-3)=131\text{)}$
• $\text{(}y(6)=428\text{)}$
• $\text{(}y(1)=3\text{)}$

4. Наименьшее и наибольшее значение функции:

• Наименьшее значение функции на интервале $\text{(}[-3,6]\text{)}$: $\text{(}{y}_{\text{min}}=3\text{)}$
• Наибольшее значение функции на интервале $\text{(}[-3,6]\text{)}$: $\text{(}{y}_{\text{max}}=428\text{)}$

Таким образом, функция $\text{(}y=x^3+9x^2-21x+14\text{)}$ имеет наибольшее значение $\text{(}428\text{)}$ и наименьшее значение $\text{(}3\text{)}$ на интервале $\text{(}[-3,6]\text{)}$.