Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном интервале. [-3;6]

Это задание по математике, а именно из раздела "Исследование функций." Давайте найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^3 + 9x^2 - 21x + 14 \) на интервале от \([-3\); \(6]\).

1. Найдем производную \( y' \) функции \( y = x^3 + 9x^2 - 21x + 14 \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 9x^2 - 21x + 14) = 3x^2 + 18x - 21. \]

2. Найдем критические точки производной, приравняв её к нулю:

\[ 3x^2 + 18x - 21 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 324 + 252 = 576. \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{576}}{6} = \frac{-18 \pm 24}{6}. \]

\[ x_1 = \frac{-18 + 24}{6} = 1, \]

\[ x_2 = \frac{-18 - 24}{6} = -7. \]

Однако \( x_2 = -7 \) не входит в заданный промежуток \([-3, 6]\), поэтому рассматриваем только \( x_1 = 1 \).

3. Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах интервала.

На концах интервала:

\[ y(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 - 21(-3) + 14 = -27 + 81 + 63 + 14 = 131. \]

\[ y(6) = 6^3 + 9 \cdot 6^2 - 21 \cdot 6 + 14 = 216 + 324 - 126 + 14 = 428. \]

В критической точке:

\[ y(1) = (1)^3 + 9(1)^2 - 21(1) + 14 = 1 + 9 - 21 + 14 = 3. \]

Теперь сопоставим полученные значения. На интервале \([-3, 6]\):

• \( y(-3) = 131 \)
• \( y(6) = 428 \)
• \( y(1) = 3 \)

4. Наименьшее и наибольшее значение функции:

• Наименьшее значение функции на интервале \([-3, 6]\): \( y_{\text{min}} = 3 \)
• Наибольшее значение функции на интервале \([-3, 6]\): \( y_{\text{max}} = 428\)

Таким образом, функция \( y = x^3 + 9x^2 - 21x + 14 \) имеет наибольшее значение \(428\) и наименьшее значение \(3\) на интервале \([-3, 6]\).