Найти массу пластинки, требуется полный расчет

Определение предмета и раздела

Данный вопрос относится к математике, а конкретно к механике (теоретической механике) и интегральному исчислению, так как требуется найти массу пластинки с заданной плотностью.

Решение

Масса пластинки вычисляется по формуле:

 M = \iint_D \mu(x, y) \, dA 

где:

• D — область, заданная в условиях,
• \mu(x, y) — плотность пластинки,
• dA — элемент площади.

Шаг 1: Определение области интегрирования

Область D задана системой условий:

 1 \leq \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \leq 4, \quad y \geq 2x, \quad x \geq 0. 

Первое неравенство описывает кольцевую область внутри эллипса:

• Внутренняя граница: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1.
• Внешняя граница: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 4.

Ограничение y \geq 2x задает полуплоскость выше прямой y = 2x, а x \geq 0 оставляет только правую половину.

Шаг 2: Выбор системы координат

Поскольку область D представляет собой кольцевую часть эллипса, удобнее перейти к эллиптическим координатам:

 x = 3r\cos\theta, \quad y = 2r\sin\theta. 

Якобиан перехода:

 J = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} \right| = 6r. 

В этих координатах область D задается:

• 1 \leq r \leq 2,
• \theta ограничивается прямой y = 2x. В эллиптических координатах это \tan\theta = \frac{2(3r\cos\theta)}{2r\sin\theta} = 2, то есть \theta \geq \arctan(2).

Шаг 3: Вычисление интеграла

Подставляя плотность \mu = \frac{8x^3 y}{63}, выразим в эллиптических координатах:

 \mu = \frac{8(3r\cos\theta)^3 (2r\sin\theta)}{63} = \frac{8 \cdot 27 r^3 \cos^3\theta \cdot 2 r \sin\theta}{63} = \frac{432 r^4 \cos^3\theta \sin\theta}{63}. 

Интеграл принимает вид:

 M = \int_{\arctan(2)}^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 \frac{432 r^4 \cos^3\theta \sin\theta}{63} \cdot 6r \, dr \, d\theta. 

Упрощая коэффициенты:

 M = \frac{2592}{63} \int_{\arctan(2)}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta \int_1^2 r^5 \, dr. 

Рассчитаем интегралы:

 \int_1^2 r^5 \, dr = \frac{r^6}{6} \Big|_1^2 = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} = \frac{63}{6} = 10.5. 

Для углового интеграла используем замену u = \cos\theta:

 \int \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4}. 

Подставляем пределы u = \cos\theta от \cos(\pi/2) = 0 до \cos(\arctan(2)) = \frac{1}{\sqrt{5}}:

 \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5} - 0 \right) = \frac{1}{20}. 

Подставляем все в выражение для массы:

 M = \frac{2592}{63} \cdot 10.5 \cdot \frac{1}{20}. 

После вычислений:

 M = 21.6. 

Ответ:

Масса пластинки M = 21.6 (в соответствующих единицах).