Найти массу неоднородной пластины по заданной плотности и области интегрирования

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Кратные интегралы (двойной интеграл)
Задача: Найти массу неоднородной пластины по заданной плотности и области интегрирования.

Условие задачи 3:

Вычислить массу неоднородной пластины ( D ), ограниченной линиями:

• ( x = 0 )
• ( y = 0 )
• ( x + y = 1 )

Плотность в каждой точке:
\mu(x, y) = x^2

Шаг 1: Определим область интегрирования

Область ( D ) — это треугольник с вершинами:

• ( (0, 0) ) — пересечение ( x=0 ) и ( y=0 )
• ( (1, 0) ) — пересечение ( y=0 ) и ( x+y=1 )
• ( (0, 1) ) — пересечение ( x=0 ) и ( x+y=1 )

Область ограничена:

• Снизу: ( y = 0 )
• Сверху: ( y = 1 - x )
• Слева: ( x = 0 )
• Справа: ( x = 1 )

Шаг 2: Запишем выражение для массы

Масса пластины находится по формуле:  M = \iint\limits_D \mu(x, y) \, dx\,dy 

Подставим плотность ( \mu(x, y) = x^2 ):

 M = \iint\limits_D x^2 \, dx\,dy 

Шаг 3: Выберем порядок интегрирования

Интегрируем по ( y ) от 0 до ( 1 - x ), а по ( x ) от 0 до 1:  M = \int_0^1 \left( \int_0^{1 - x} x^2 \, dy \right) dx 

Шаг 4: Вычислим внутренний интеграл

 \int_0^{1 - x} x^2 \, dy = x^2 \cdot (1 - x) 

Теперь внешний интеграл:  M = \int_0^1 x^2(1 - x) \, dx = \int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} 

✅ Ответ:

M = \frac{1}{12}

Масса неоднородной пластины равна \frac{1}{12}.