Найти массу кривой, заданной уравнением

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление, полярные координаты

Условие:

Найти массу кривой, заданной уравнением r^2 = a^2 \cos{2\varphi}, если плотность кривой выражается как \mu(r, \varphi) = r.

Решение:

Масса кривой в полярных координатах вычисляется по формуле:  M = \int_L \mu(r, \varphi) \, ds,  где ds — элемент длины дуги, а \mu(r, \varphi) — плотность.

1. Выражение для элемента длины дуги:

В полярных координатах элемент длины дуги записывается как:  ds = \sqrt{\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 + r^2} \, d\varphi. 

2. Уравнение кривой:

Кривая задана уравнением:  r^2 = a^2 \cos{2\varphi}.  Возьмем производную r по \varphi. Для этого сначала выразим r:  r = \sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}. 

Теперь найдем производную:  \frac{dr}{d\varphi} = \frac{1}{2} \cdot (a^2 \cos{2\varphi})^{-\frac{1}{2}} \cdot a^2 \cdot (-\sin{2\varphi}) \cdot 2.  Упростим:  \frac{dr}{d\varphi} = -a^2 \sin{2\varphi} / \sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}. 

3. Подстановка в элемент длины дуги:

Подставим \frac{dr}{d\varphi} в формулу для ds:  ds = \sqrt{\left(-\frac{a^2 \sin{2\varphi}}{\sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}}\right)^2 + r^2} \, d\varphi. 

Подставим r^2 = a^2 \cos{2\varphi}:  ds = \sqrt{\frac{a^4 \sin^2{2\varphi}}{a^2 \cos{2\varphi}} + a^2 \cos{2\varphi}} \, d\varphi. 

Приведем к общему знаменателю:  ds = \sqrt{\frac{a^4 \sin^2{2\varphi} + a^4 \cos^2{2\varphi}}{a^2 \cos{2\varphi}}} \, d\varphi. 

В числителе вынесем a^4 за скобки и используем основное тригонометрическое тождество \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1:  ds = \sqrt{\frac{a^4}{a^2 \cos{2\varphi}}} \, d\varphi = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}} \, d\varphi. 

4. Формула для массы:

Масса кривой:  M = \int_L \mu(r, \varphi) \, ds. 

Подставим \mu(r, \varphi) = r и выражение для ds:  M = \int_0^{\pi/2} r \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}} \, d\varphi. 

Подставим r = \sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}:  M = \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2 \cos{2\varphi}} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2 \cos{2\varphi}}} \, d\varphi. 

Сократим:  M = \int_0^{\pi/2} a^2 \, d\varphi. 

Вынесем a^2 за знак интеграла:  M = a^2 \int_0^{\pi/2} d\varphi. 

Вычислим интеграл:  M = a^2 \left[\varphi\right]_0^{\pi/2} = a^2 \cdot \frac{\pi}{2}. 

Ответ:

 M = \frac{\pi a^2}{2}.