Найти массу кривой

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление в полярных координатах

Дано уравнение кривой r^2 = a^2 \cos 2\varphi и плотность \mu(r, \varphi) = r. Требуется найти массу кривой.

Решение:

Масса кривой вычисляется по формуле:

 M = \int_L \mu \, ds, 

где ds — элемент длины дуги, а \mu — плотность.

В полярных координатах элемент длины дуги выражается как:

 ds = \sqrt{\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 + r^2} \, d\varphi. 

1. Найдем производную \frac{dr}{d\varphi}.

Дано уравнение кривой:
r^2 = a^2 \cos 2\varphi.

Дифференцируем обе части по \varphi:
 2r \frac{dr}{d\varphi} = -2a^2 \sin 2\varphi. 

Отсюда:
 \frac{dr}{d\varphi} = -\frac{a^2 \sin 2\varphi}{r}. 

2. Подставим ds.

 ds = \sqrt{\left(-\frac{a^2 \sin 2\varphi}{r}\right)^2 + r^2} \, d\varphi = \sqrt{\frac{a^4 \sin^2 2\varphi}{r^2} + r^2} \, d\varphi. 

Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на r^2:
 ds = \sqrt{\frac{a^4 \sin^2 2\varphi}{r^2} + r^2} = \sqrt{\frac{a^4 \sin^2 2\varphi + r^4}{r^2}} \, d\varphi. 

Подставим r^2 = a^2 \cos 2\varphi, чтобы упростить выражение. Тогда r^4 = (a^2 \cos 2\varphi)^2, и получаем:
 ds = \sqrt{\frac{a^4 \sin^2 2\varphi + a^4 \cos^2 2\varphi}{a^2 \cos 2\varphi}} \, d\varphi. 

Используя основное тригонометрическое тождество \sin^2 x + \cos^2 x = 1:
 ds = \sqrt{\frac{a^4}{a^2 \cos 2\varphi}} \, d\varphi = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 \cos 2\varphi}} \, d\varphi. 

3. Выразим массу.

Масса кривой:
 M = \int_L \mu \, ds = \int_0^{2\pi} \mu(r, \varphi) \cdot ds. 

Подставим \mu(r, \varphi) = r и ds:
 M = \int_0^{2\pi} r \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2 \cos 2\varphi}} \, d\varphi. 

Так как r^2 = a^2 \cos 2\varphi, то r = \sqrt{a^2 \cos 2\varphi}. Подставим это:
 M = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \cos 2\varphi} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2 \cos 2\varphi}} \, d\varphi. 

Сократим:
 M = \int_0^{2\pi} a^2 \, d\varphi. 

Так как a^2 — константа:
 M = a^2 \int_0^{2\pi} d\varphi = a^2 \cdot 2\pi. 

Ответ:

Масса кривой равна:
 M = 2\pi a^2.