Найти массу конуса

Задание номер 5 представляет собой плотностную задачу с применением множественного интеграла для нахождения массы неоднородного конуса. В данной задаче плотность материала конуса пропорциональна расстоянию до оси конуса.

Предмет: Математика (Высшая математика)

Раздел: Кратные интегралы, теоретическая механика (нахождение массы тела из неоднородной плотности с учетом симметрии).

Объяснение:

Зададим конус с радиусом основания \( R \) и высотой \( h \). Основание конуса — круг, находящийся в плоскости \( z = 0 \) радиуса \( R \), а вершина конуса находится на высоте \( z = h \) на оси \( z \). Дана плотность, которая пропорциональна расстоянию до оси конуса, то есть плотность \( \rho(r, \varphi, z) \) пропорциональна радиусу \( r \) (расстоянию до оси \( z \)). Плотность можно задать в виде: \[ \rho = k r, \] где \( k \) — некоторая постоянная величина пропорциональности, \( r \) — радиальная координата. Для нахождения массы конуса применим триплетный интеграл в полярных координатах, так как задача обладает цилиндрической симметрией.

Масса тела через тройной интеграл:

Масса конуса \( M \) будет равна \[ M = \iiint_V \rho(r, \varphi, z) \, dV. \] В цилиндрических координатах \( dV = r \, dz \, dr \, d\varphi \). Подставляем плотность: \[ M = \iiint_V k r^2 \, dz \, dr \, d\varphi. \]

Пределы интегрирования:

Для описания области \( V \) зададим пределы для каждого из интегралов:

1. \( \varphi \) меняется от \( 0 \) до \( 2\pi \) (полный круг).
2. \( r \) зависит от координаты \( z \), так как конус сужается к вершине. Радиус на высоте \( z \) можно выразить через \( R \) и \( h \): \[ r(z) = \frac{R}{h}(h - z). \] Значит, \( r \) меняется от 0 до \(\frac{R}{h}(h - z)\).
3. \( z \) меняется от 0 до \( h \) (самая нижняя точка — основание конуса, а верхняя — вершина).

Интеграл:

Теперь можем записать тройной интеграл: \[ M = \int_0^{2\pi} \int_0^h \int_0^{\frac{R}{h}(h-z)} k r^2 \, dr \, dz \, d\varphi. \]

Вычисление:

1. Интегрируем по \( r \): \[ \int_0^{\frac{R}{h}(h-z)} r^2 \, dr = \frac{1}{3} \left( \frac{R}{h}(h - z) \right)^3. \]
2. Подставляем этот результат и интегрируем по \( z \): \[ M = k \cdot \int_0^{2\pi} \int_0^h \frac{1}{3} \left( \frac{R}{h}(h - z) \right)^3 dz \, d\varphi. \] Выносим константы: \[ M = k \cdot \frac{R^3}{3h^3} \int_0^{2\pi} \int_0^h (h - z)^3 \, dz \, d\varphi. \] Интегрируем по \( z \): \[ \int_0^h (h - z)^3 \, dz = \frac{h^4}{4}. \]
3. Подставляем и интегрируем по \( \varphi \): \[ M = k \cdot \frac{R^3}{3h^3} \cdot \frac{h^4}{4} \cdot \int_0^{2\pi} d\varphi. \] Интеграл по углу \( \varphi \) дает \( 2\pi \): \[ M = k \cdot \frac{R^3}{3h^3} \cdot \frac{h^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{k \pi R^3 h}{6}. \]

Ответ:

Масса конуса равна: \[ M = \frac{k \pi R^3 h}{6}. \]