Найти интервал сходимости ряда

Это задание из математики, касающееся раздела "Ряды".

Нам необходимо найти интервал сходимости ряда: \[ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n^n x^n}{n!} \right) \]

Для определения интервала сходимости воспользуемся радиусом сходимости и применим критерий Коши-Гадамара.

Шаг 1: Запишем общий член ряда \(a_n = \frac{n^n x^n}{n!}\).

Шаг 2: Рассмотрим следующую дробь: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(n+1)^{n+1} x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n x^n}{n!}} \right| = \left| \frac{(n+1)^{n+1} x^{n+1} n!}{(n+1)! n^n x^n} \right|\]

Шаг 3: Упростим дробь: \[ \left| \frac{(n+1)^{n+1} x^{n+1}}{(n+1) n^n x^n} \cdot \frac{n!}{n!} \right| = \left| \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)*n^n} \cdot x \right| = \left| \frac{(n+1)^{n}}{n^n} \cdot (n+1) \cdot x \cdot \frac{1}{(n+1)} \right|\]

Учитывая, что \[ \left( \frac{n+1}{n} \right) \approx \left( \frac{n}{n} + \frac{1}{n} \right)\approx 1 + \frac{1}{n} \]

Шаг 4: При больших значениях \(n\): \[ \left( {\frac{n+1}{n}} \right)^{n} \approx e \]

Поэтому: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \approx e |x| \]

Шаг 5: Согласно радиусу сходимости, данный ряд будет сходиться, если: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \]

Иначе: \[ e |x| < 1 \]

Таким образом: \[ |x| < \frac{1}{e} \]

Шаг 6: Учитывая результаты, можно заключить, что интервал сходимости ряда: \[ -\frac{1}{e} < x < \frac{1}{e} \]

Ответ: интервал сходимости данного ряда: \[ -\frac{1}{e} < x < \frac{1}{e} \]