Найти интеграллы

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим решение всех заданий по порядку.

1. Найти интегралы

1.1.

\int \frac{x^2 + 2x}{\sqrt{x}} \, dx

Разделим числитель на знаменатель:
\frac{x^2 + 2x}{\sqrt{x}} = x^{3/2} + 2x^{1/2}.

Теперь интегрируем:
\int \left( x^{3/2} + 2x^{1/2} \right) dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + C.

Ответ:
\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + C.

1.2.

\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}

Это табличный интеграл:
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C.

Ответ:
\arcsin x + C.

1.3.

\int x \cos 2x \, dx

Используем метод интегрирования по частям:
u = x, \, dv = \cos 2x \, dx.
Тогда:
du = dx, \, v = \frac{\sin 2x}{2}.

Применяем формулу \int u \, dv = uv - \int v \, du:
\int x \cos 2x \, dx = x \cdot \frac{\sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx.

Интегрируем второй член:
\int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = -\frac{\cos 2x}{4}.

Подставляем:
\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + C.

Ответ:
\frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + C.

2. Вычислить интеграл

\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} + 1}{x^3} \, dx

Разделим дробь:
\frac{\sqrt{x} + 1}{x^3} = \frac{\sqrt{x}}{x^3} + \frac{1}{x^3} = x^{-5/2} + x^{-3}.

Теперь интегрируем:
\int_{0}^{4} \left( x^{-5/2} + x^{-3} \right) \, dx = \int_{0}^{4} x^{-5/2} \, dx + \int_{0}^{4} x^{-3} \, dx.

Интегрируем каждый член:

1. \int x^{-5/2} \, dx = \frac{x^{-5/2 + 1}}{-5/2 + 1} = \frac{x^{-3/2}}{-3/2} = -\frac{2}{3}x^{-3/2}.
2. \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2}.

Подставляем пределы интегрирования:
\left[ -\frac{2}{3}x^{-3/2} \right]_{0}^{4} + \left[ -\frac{1}{2}x^{-2} \right]_{0}^{4}.

Для первого члена:
-\frac{2}{3}x^{-3/2} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{3/2}}.
При x = 4:
-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4^{3/2}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{12}.
При x = 0:
x^{-3/2} \to \infty.

Интеграл расходится.

3. Найти площадь фигуры

Даны линии:
y = 4x - x^2 - 1 и x + y = 3.

Найдем точки пересечения. Подставим y = 3 - x во второе уравнение:
4x - x^2 - 1 = 3 - x.
Приведем к стандартному виду:
-x^2 + 5x - 4 = 0.

Решим квадратное уравнение:
x^2 - 5x + 4 = 0.
x = 1 и x = 4.

Площадь вычисляется как:
S = \int_{1}^{4} \left( (3 - x) - (4x - x^2 - 1) \right) dx.

Упростим подынтегральное выражение:
(3 - x) - (4x - x^2 - 1) = 3 - x - 4x + x^2 + 1 = x^2 - 5x + 4.

Интегрируем:
S = \int_{1}^{4} (x^2 - 5x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4}.

Вычисляем:

1. При x = 4:
   \frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 = \frac{64}{3} - \frac{80}{2} + 16 = \frac{64}{3} - 40 + 16 = \frac{64}{3} - 24 = \frac{-8}{3}.
2. При x = 1:
   \frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1 = ....