Найти интеграл вдоль линии, которая задается уравнением

Это задание относится к математике, раздел — интегралы и геометрия. Здесь требуется найти интеграл вдоль линии \( L \), которая задается уравнением \( y = \frac{x}{2} - 2 \), для участка между точками \( A(0; -2) \) и \( B(4; 0) \).

Шаг 1: Найдём элемент длины дуги \( ds \)

Элемент длины дуги \( ds \) для кривой заданной в координатах выглядит так:

\[ ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

Для этого нужно найти производную \( \frac{dy}{dx} \) для линии \( y = \frac{x}{2} - 2 \).

\[ y = \frac{x}{2} - 2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \]

Тогда:

\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \, dx = \sqrt{\frac{5}{4}} \, dx = \frac{\sqrt{5}}{2} \, dx \]

Шаг 2: Интеграл для длины дуги

Теперь нужно вычислить интеграл для длины дуги от точки \( A(0; -2) \) до точки \( B(4; 0) \):

\[ \int_L \frac{ds}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

Мы уже выразили \( ds = \frac{\sqrt{5}}{2} dx \), и знаем, что кривую можно выразить через функцию \( y(x) = \frac{x}{2} - 2 \). Теперь подставим это в интеграл.

Прежде чем это сделать, выразим \( y \) через \( x \) в терминах под знаком корня:

\[ y = \frac{x}{2} - 2 \]

Возведем \( y \) в квадрат:

\[ y^2 = \left( \frac{x}{2} - 2 \right)^2 = \frac{x^2}{4} - 2x + 4 \]

Теперь подставим это в \( x^2 + y^2 \):

\[ x^2 + y^2 = x^2 + \frac{x^2}{4} - 2x + 4 = \frac{5x^2}{4} - 2x + 4 \]

Следовательно, интеграл выглядит следующим образом:

\[ \int_0^4 \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} dx}{\sqrt{\frac{5x^2}{4} - 2x + 4}} \]

Этот интеграл требует более сложного вычисления, и одним из методов решения может быть численное интегрирование.