Найти интеграл с точностью 0.001

Это задание принадлежит предмету "Математика", разделу "Математический анализ".

Конкретно здесь требуется решить интеграл. Итак, нам нужно найти интеграл: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt[4]{x^4 + 1}} \, dx \]

Метод решения

Для нахождения интеграла численными методами, рассмотрим метод Симпсона. Метод Симпсона — один из чисельных методов для нахождения приближённого значения определённого интеграла.

Шаг 1: Разделение интервала (разбиение на подотрезки)

Разобьем интервал \([0, 1/2]\) на \(n\) равных частей. Пусть \(n\) кратно 2 (например \(n = 10\)). Тогда ширина шага \(h\) равна: \[ h = \frac{1/2 - 0}{n} = \frac{1/2}{n} = \frac{1}{2n} \]

Шаг 2: Параметры функции

Рассмотрим функцию: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^4 + 1}} \]

Шаг 3: Применение метода Симпсона

Метод Симпсона гласит: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{i=1,3,5,...,n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,...,n-2} f(x_i) + f(x_n) \right] \] Применим метод Симпсона: Предположим \(n = 10\): \[ h = \frac{1}{2 \times 10} = 0.05 \] Точки \(x_i\) будут: \[ x_0 = 0, \, x_1 = 0.05, \, x_2 = 0.10, \, x_3 = 0.15, \, ... \, x_{10} = 0.5 \] Посчитаем значения функции \(f(x)\) в этих точках: \[ \begin{align*} f(x_0) &= \frac{1}{\sqrt[4]{0^4 + 1}} = 1 \\ f(x_1) &= \frac{1}{\sqrt[4]{0.05^4 + 1}} \approx 0.999991 \\ f(x_2) &= \frac{1}{\sqrt[4]{0.10^4 + 1}} \approx 0.999872 \\ f(x_3) &= \frac{1}{\sqrt[4]{0.15^4 + 1}} \approx 0.999337 \\ f(x_4) &= \frac{1}{\sqrt[4]{0.20^4 + 1}} \approx 0.998092 \\ f(x_5) &= \frac{1}{\sqrt[4]{0.25^4 + 1}} \approx 0.995861 \\ f(x_6) &= \frac{1}{.... \[ = \frac{0.05}{3} \left[ 1 + 4 (4.956545) + 2(3.971748) + 0.964826 \right] \] \[ = \frac{0.05}{3} \left[ 29.734502 \right] \] \[ = \frac{1.4867251}{3} \] \[ \approx 0.495575 \]

Результат

Приближенное значение интеграла: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt[4]{x^4+1}} \, dx \approx 0.496 \] Это значение с заданной точностью \(0.001\). Таким образом, конечный результат: \(\boxed{0.496}\).