Найти интеграл с помощью специальных функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Интегралы, специальные функции

Нам нужно найти интеграл:

 \int \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}}{x \sqrt[6]{x^5}} \, dx 

Шаг 1: Упростим выражение под интегралом

Запишем все степени в виде дробных показателей:

 \sqrt{x} = x^{1/2}, \quad \sqrt[6]{x^5} = x^{5/6} 

Тогда знаменатель:

 x \cdot x^{5/6} = x^{1 + 5/6} = x^{11/6} 

Числитель:

 \sqrt[3]{1 + x^{1/2}} 

Таким образом, интеграл перепишется как:

 \int \frac{(1 + x^{1/2})^{1/3}}{x^{11/6}} \, dx 

Шаг 2: Замена переменной

Пусть:

 u = x^{1/2} \Rightarrow x = u^2, \quad dx = 2u \, du 

Подставим в интеграл:

 \int \frac{(1 + u)^{1/3}}{(u^2)^{11/6}} \cdot 2u \, du = 2 \int \frac{(1 + u)^{1/3} \cdot u}{u^{22/6}} \, du = 2 \int (1 + u)^{1/3} \cdot u^{1 - 11/3} \, du = 2 \int (1 + u)^{1/3} \cdot u^{-8/3} \, du 

Шаг 3: Используем специальную функцию — бета-функцию

Интеграл имеет вид:

 \int u^{m} (1 + u)^{n} \, du 

Такой интеграл выражается через бета-функцию при замене:

 u = \frac{t}{1 - t}, \quad t \in (0,1) 

или можно выразить через гипергеометрическую функцию:

 \int u^{c - 1} (1 + u)^{d} \, du = u^c \cdot {}_2F_1\left(-d, c; c+1; -u\right) 

Но проще выразить через бета-функцию, если сделать замену:

Пусть:

 u = \frac{v}{1 - v}, \quad du = \frac{dv}{(1 - v)^2} 

Тогда:

 (1 + u) = \frac{1}{1 - v}, \quad u = \frac{v}{1 - v} 

В результате интеграл сведется к:

 \int v^{a - 1} (1 - v)^{b - 1} \, dv = B(a, b) 

Ответ:

После всех преобразований интеграл:

 \int \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}}{x \sqrt[6]{x^5}} \, dx 

можно выразить через бета-функцию Эйлера или гипергеометрическую функцию. Точный вид зависит от выбранной замены.

Если оставить в виде специальной функции, то:

 \int \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}}{x \sqrt[6]{x^5}} \, dx = 2 \cdot \int u^{-8/3} (1 + u)^{1/3} \, du 

Этот интеграл выражается через гипергеометрическую функцию:

 = 2 \cdot u^{-5/3} \cdot {}_2F_1\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}; \frac{8}{3}; -u\right) + C 

где u = \sqrt{x}

Если нужно, могу продолжить и выразить результат в явном виде с подстановкой обратно.