Найти интеграл от тригонометрической функции

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегралы, тригонометрические функции

Чтобы найти интеграл от \( \cos^3(2x) \) на промежутке от 0 до \( \pi/4 \), используем метод подстановки и тригонометрические идентичности.

1. Сначала используем тригонометрическую идентичность: \[\cos^3(2x) = \cos(2x) \cdot \cos^2(2x)\]
2. Применим идентичность для \( \cos^2(2x) \): \[\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}\]
3. Подставим это обратно в интеграл: \[\cos^3(2x) = \cos(2x) \cdot \frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} \cos(2x) \cos(4x)\] Таким образом, наш интеграл преобразуется: \[\int_{0}^{\pi/4} \cos^3(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \cos(4x) \, dx\]
4. Вычислим первый интеграл: Для \( \cos(2x) \) используем подстановку \( u = 2x \), тогда \( du = 2dx \) или \( dx = \frac{du}{2} \). Пределы интегрирования изменятся: - при \( x = 0 \), \( u = 0 \) - при \( x = \pi/4 \), \( u = \pi/2 \) Теперь интеграл: \[\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \cos(u) \, du\] \[\int \cos(u) \, du = \sin(u)\] Поэтому получаем: \[\frac{1}{4} [ \sin(u) ]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4} [ \sin(\pi/2) - \sin(0) ] = \frac{1}{4} [ 1 - 0 ] = \frac{1}{4}\]
5. Рассмотрим второй интеграл: \[\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \cos(4x) \, dx\] Используем тригонометрическое преобразование для продукта косинусов: \[\cos(2x) \cos(4x) = \frac{1}{2} [\cos(6x) + \cos(-2x)] = \frac{1}{2} [\cos(6x) + \cos(2x)]\] Тогда интеграл станет: \[\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2} [\cos(6x) + \cos(2x)] \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/4} [\cos(6x) + \cos(2x)] \, dx\] Этот интеграл можно разделить на два интеграла: \[\frac{1}{4} \left( \int_{0}^{\pi/4} \cos(6x) \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \, dx \right)\] Мы уже вычислили интеграл \( \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \, dx \) ранее, он равен \( \frac{1}{4} \). Теперь сделаем интеграл от \( \cos(6x) \): Снова используем подстановку \( u = 6x \), \( du = 6dx \), \( dx = \frac{du}{6} \) и пределы: - при \( x = 0 \), \( u = 0 \) - при \( x = \pi/4 \), \( u = 3\pi/2 \) \[\frac{1}{4} \int_{0}^{3\pi/2} \cos(u) \frac{du}{6} = \frac{1}{24} \int_{0}^{3\pi/2} \cos(u) \, du\] \[\int \cos(u) \, du = \sin(u)\] \[\frac{1}{24} [ \sin(u) ]_{0}^{3\pi/2} = \frac{1}{24} [ \sin(3\pi/2) - \sin(0) ] = \frac{1}{24} [ -1 - 0 ] = -\frac{1}{24}\]