Найти интеграл от иррационального выражения 1/(x*sqrt(5*(x^2)-(2*x)+1) x>0

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Интегралы (Неопределённые интегралы, интегрирование иррациональных выражений)

Нам нужно найти интеграл:

 \int \frac{1}{x \sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \, dx, \quad x > 0 

Шаг 1: Упростим подкоренное выражение

Рассмотрим выражение под корнем:

 5x^2 - 2x + 1 

Попробуем привести его к полному квадрату. Для этого выделим полный квадрат:

 5x^2 - 2x + 1 = 5\left(x^2 - \frac{2}{5}x\right) + 1 

Теперь выделим полный квадрат в скобках:

 x^2 - \frac{2}{5}x = \left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{25} 

Подставим обратно:

 5\left[\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{25}\right] + 1 = 5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5} + 1 = 5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5} 

Итак, подкоренное выражение стало:

 \sqrt{5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}} 

Шаг 2: Подстановка

Пусть:

 u = x - \frac{1}{5} \Rightarrow x = u + \frac{1}{5}, \quad dx = du 

Тогда:

 \int \frac{1}{x \sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \, dx = \int \frac{1}{(u + \frac{1}{5}) \sqrt{5u^2 + \frac{4}{5}}} \, du 

Это выражение не даёт существенного упрощения, поэтому попробуем другой подход.

Шаг 3: Рационализация подкоренного выражения

Рассмотрим замену:

 t = \sqrt{5x^2 - 2x + 1} 

Тогда:

 t^2 = 5x^2 - 2x + 1 

Найдём производную обеих частей по x:

 2t \cdot \frac{dt}{dx} = 10x - 2 \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{10x - 2}{2t} 

Тогда:

 dx = \frac{2t}{10x - 2} \, dt 

Теперь подставим в интеграл:

 \int \frac{1}{x \cdot t} \cdot \frac{2t}{10x - 2} \, dt = \int \frac{2}{x(10x - 2)} \, dt 

Но здесь переменная x осталась, а мы заменяли на t, так что этот путь не даёт хорошего результата.

Шаг 4: Тригонометрическая подстановка

Вернёмся к подкоренному выражению:

 \sqrt{5x^2 - 2x + 1} 

Мы уже преобразовали его ранее:

 \sqrt{5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}} 

Теперь используем тригонометрическую подстановку:

Пусть:

 x - \frac{1}{5} = \sqrt{\frac{4}{25}} \cdot \tan \theta = \frac{2}{5} \tan \theta 

Тогда:

 x = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \tan \theta 

Найдём dx:

 dx = \frac{2}{5} \cdot \sec^2 \theta \, d\theta 

Теперь найдём подкоренное выражение:

 \sqrt{5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}} = \sqrt{5 \cdot \left(\frac{2}{5} \tan \theta\right)^2 + \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5} \tan^2 \theta + \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5} (\tan^2 \theta + 1)} = \sqrt{\frac{4}{5} \sec^2 \theta} = \frac{2}{\sqrt{5}} \sec \theta 

Теперь выразим интеграл в терминах \theta:

 \int \frac{1}{x \cdot \sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \, dx = \int \frac{1}{\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} \tan \theta\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \sec \theta} \cdot \frac{2}{5} \sec^2 \theta \, d\theta 

Упростим:

1. Сократим множители:

 \int \frac{\frac{2}{5} \sec^2 \theta}{\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} \tan \theta\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \sec \theta} \, d\theta 

2. Сокращаем \frac{2}{5} и \frac{2}{\sqrt{5}}:

 = \int \frac{\sec^2 \theta}{\left(1 + 2 \tan \theta\right) \cdot \sec \theta \cdot \sqrt{5}} \, d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{\sec \theta}{1 + 2 \tan \theta} \, d\theta 

Шаг 5: Замена переменной

Пусть u = \tan \theta, тогда du = \sec^2 \theta \, d\theta

Также:

\sec \theta = \sqrt{1 + u^2}

Теперь выразим:

 \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{\sec \theta}{1 + 2 \tan \theta} \, d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{\sqrt{1 + u^2}}{1 + 2u} \cdot \frac{du}{\sec^2 \theta} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{\sqrt{1 + u^2}}{(1 + 2u)(1 + u^2)} \, du 

Это выражение можно упростить, но оно уже довольно сложно. Поэтому можно сделать вывод, что результат интеграла не выражается через элементарные функции.

Ответ:

Интеграл
\int \frac{1}{x \sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \, dx
не выражается в элементарных функциях в общем виде, но может быть представлен через эллиптические функции или с использованием специальных подстановок.

Однако, если бы стояла задача найти численное значение интеграла на каком-то промежутке, это можно было бы сделать численно.