Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти интеграл от иррационального выражения: 1/(x^4×sqrt(x^2-1)
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Интегралы, Неопределённые интегралы, Интегрирование иррациональных выражений
Нам нужно найти интеграл:
\int \frac{1}{x^4 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx
Это иррациональное выражение, содержащее корень из квадратного трехчлена. В таких случаях часто используется подстановка тригонометрическая или гиперболическая. Здесь удобно использовать подстановку:
x = \sec \theta, \quad dx = \sec \theta \tan \theta \, d\theta
Пояснение:
При такой подстановке:
\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta
Также:
x^4 = \sec^4 \theta
Теперь подставим все в интеграл:
\int \frac{1}{x^4 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \int \frac{1}{\sec^4 \theta \cdot \tan \theta} \cdot \sec \theta \tan \theta \, d\theta
Сократим:
= \int \frac{\sec \theta \tan \theta}{\sec^4 \theta \tan \theta} \, d\theta = \int \frac{1}{\sec^3 \theta} \, d\theta = \int \cos^3 \theta \, d\theta
Теперь нужно найти интеграл:
\int \cos^3 \theta \, d\theta
Применим стандартную формулу:
\int \cos^n x \, dx = \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx
Для n = 3:
\int \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{3} \cos^2 \theta \sin \theta + \frac{2}{3} \int \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{3} \cos^2 \theta \sin \theta + \frac{2}{3} \sin \theta + C
Теперь выразим результат через x. Напомним, что x = \sec \theta, значит:
Подставим:
\frac{1}{3} \cos^2 \theta \sin \theta = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{3x^3}
\frac{2}{3} \sin \theta = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} = \frac{2\sqrt{x^2 - 1}}{3x}
Теперь соберем все вместе:
\int \frac{1}{x^4 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{3x^3} + \frac{2\sqrt{x^2 - 1}}{3x} + C
Ответ:
\int \frac{1}{x^4 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{3x^3} + \frac{2\sqrt{x^2 - 1}}{3x} + C