Найти интеграл от функции

Это задание по математике, а точнее по разделу интегрирования в математическом анализе.

Необходимо найти интеграл от функции. \[ \int \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \, dx \] Для решения такого интеграла удобно воспользоваться методами подстановки и тригонометрической идентичности. Начнем с упрощения выражения.

1. Представим \(\sin^2(x)\) через косинус при помощи тригонометрического тождества: \[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] Тогда интеграл преобразуется в: \[ \int \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos(x)} \, dx \]

Разделим дробь на два интеграла: \[ \int \frac{1}{\cos(x)} \, dx - \int \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} \, dx \]

2. Упростим каждый из полученных интегралов: \[ \int \sec(x) \, dx - \int \cos(x) \, dx \] Теперь мы имеем два более простых интеграла: \[ \int \sec(x) \, dx - \int \cos(x) \, dx \]

3. Интегрируем каждое из выражений: \[ \int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C_1 \] \[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C_2 \]

4. Соберем вместе результаты получения интегралов: \[ \ln|\sec(x) + \tan(x)| - \sin(x) + C \] Где \(C = C_1 + C_2\) - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, ответ: \[ \int \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| - \sin(x) + C \] Где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.