Найти опреденый интеграл

Заданное изображение демонстрирует задачу по математической дисциплине, а именно, в области математического анализа. В этой задаче требуется решить определенный интеграл функции \(x\ln(1-x)\) в пределах от -1 до 0. Для решения данной задачи мы можем использовать метод интегрирования по частям, который основан на формуле: \[\int u dv = uv - \int v du,\] где \(u\) и \(dv\) – функции от переменной \(x\), а \(du\) и \(v\) – их соответствующие производные и интегралы. Выберем \(u = \ln(1-x)\), тогда \(dv = x dx\). Найдем выражение для \(du\) и \(v\): \[du = \frac{d}{dx} [\ln(1-x)] dx = -\frac{1}{1-x} dx,\] \[v = \int x dx = \frac{1}{2} x^2.\] Теперь применим формулу интегрирования по частям: \[\int_{-1}^{0} x\ln(1-x) dx = \left. \frac{1}{2} x^2 \ln(1-x) \right|_{-1}^{0} - \int_{-1}^{0} \frac{1}{2} x^2 \left( -\frac{1}{1-x} \right) dx.\] Первая часть выражения после применения пределов интегрирования даст ноль: \[\left. \frac{1}{2} x^2 \ln(1-x) \right|_{-1}^{0} = \left( \frac{1}{2} \cdot 0^2 \cdot \ln(1-0) \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 \cdot \ln(1-(-1)) \right) = 0 - 0 = 0.\] Так как \( \ln(1) = 0 \) и \( \ln(0) \) не определен, однако при умножении на 0, результатом будет 0. Вторая часть интеграла превращается в: \[ - \int_{-1}^{0} \left( -\frac{1}{2} \right) \frac{x^2}{1-x} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} \frac{x^2}{1-x} dx.\] Этот интеграл сложнее, так как требует разложения подынтегральной функции на простейшие дроби или использования других методов интегрирования, например, метода подстановки или разложения в ряд Тейлора около точки. Однако в данной задаче интеграл не является элементарным, и его решение может потребовать более продвинутых методов или численного анализа. То есть, финальное решение задачи не представляется возможным выразить в элементарных функциях без использования численных методов или специального программного обеспечения.