Найти длину дуги кривой

Условие:

Решение:

На изображении представлена задача под номером 10, где требуется найти длину пути кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ = 2(1 - cos(φ)), при φ изменяющемся в пределах от -π/2 до 0. Для нахождения длины пути в полярных координатах используется формула: $$ L = \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{\rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\varphi}\right)^2} d\varphi, $$ где \( \rho(\varphi) \) – заданная функция в полярных координатах, \( \frac{d\rho}{d\varphi} \) – производная этой функции по \( \varphi \). Подставим нашу функцию в формулу: $$ \rho(\varphi) = 2 - 2\cos(\varphi), $$ тогда $$ \frac{d\rho}{d\varphi} = 2\sin(\varphi). $$ Подставим в формулу для длины пути: $$ L = \int\limits_{-\pi/2}^{0} \sqrt{(2 - 2\cos(\varphi))^2 + (2\sin(\varphi))^2} d\varphi, $$ упростим подынтегральное выражение: $$ L = \int\limits_{-\pi/2}^{0} \sqrt{4 - 8\cos(\varphi) + 4\cos^2(\varphi) + 4\sin^2(\varphi)} d\varphi, $$ используем тождество \( \sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1 \): $$ L = \int\limits_{-\pi/2}^{0} \sqrt{4 - 8\cos(\varphi) + 4} d\varphi, $$ получим $$ L = \int\limits_{-\pi/2}^{0} \sqrt{8(1 - \cos(\varphi))} d\varphi. $$ Теперь нам нужно выполнить данное интегрирование. У нас есть удвоенный косинус, тождество для которого имеет вид: $$ 1 - \cos(\varphi) = 2\sin^2(\varphi/2). $$ Применяем это тождество: $$ L = \int\limits_{-\pi/2}^{0} \sqrt{16\sin^2(\varphi/2)} d\varphi = 4 \int\limits_{-\pi/2}^{0} |\sin(\varphi/2)| d\varphi. $$ Так как \( \varphi/2 \) лежит в пределах от -π/4 до 0, функция \( \sin(\varphi/2) \) будет неотрицательной, при этом модуль можно не учитывать: $$ L = 4 \int\limits_{-\pi/2}^{0} \sin(\varphi/2) d\varphi. $$ Выполним последний шаг интегрирования: $$ L = 4 \left[-2\cos(\varphi/2)\right]_{-\pi/2}^{0} = -8\left[\cos(\varphi/2)\right]_{-\pi/2}^{0}, $$ посчитаем значения косинуса на границах интегрирования: $$ L = -8(\cos(0) - \cos(-\pi/4)) = -8(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}). $$ После подстановки значений получим итоговый ответ: $$ L = -8\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -8 + 4\sqrt{2}. $$ Длина пути кривой приблизительно равна: $$