Найдите площадь между функцией и интервалом

Предмет: Математика
Раздел предмета: Интегральное исчисление

Задача:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 5 - x^2 и интервалом [-2; 2].

Решение:

Площадь под графиком функции на заданном интервале вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для площади между графиком функции и осью Ox на интервале [a; b]:

 A = \int_a^b |f(x)| \, dx 

Так как функция f(x) = 5 - x^2 на интервале [-2; 2] не принимает отрицательных значений (график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится выше оси Ox), модуль можно не учитывать. Таким образом, площадь вычисляется как:

 A = \int_{-2}^2 (5 - x^2) \, dx 

Шаги вычисления:

1. Разделим интеграл на части:  \int_{-2}^2 (5 - x^2) \, dx = \int_{-2}^2 5 \, dx - \int_{-2}^2 x^2 \, dx 

2. Рассчитаем первый интеграл:  \int_{-2}^2 5 \, dx = 5 \int_{-2}^2 1 \, dx = 5 \cdot \left[ x \right]_{-2}^2 = 5 \cdot (2 - (-2)) = 5 \cdot 4 = 20 

3. Рассчитаем второй интеграл:  \int_{-2}^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} 

4. Вычислим общую площадь:  A = 20 - \frac{16}{3} = \frac{60}{3} - \frac{16}{3} = \frac{44}{3} 

Ответ:

Площадь между графиком функции f(x) = 5 - x^2 и интервалом [-2; 2] равна:

 A = \frac{44}{3}  (или приблизительно 14.67).