Найдите площади фигур, ограниченных данными линиями

Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление (нахождение площадей криволинейных фигур).

Задание: Найти площади фигур, ограниченных данными линиями.

Дано (для задач в) и г)):

1. в) \( x^2 + y^2 = 16, \, 6x = y^2 \)
2. г) \( y = \frac{1}{x^2 + 1}, \, y = \frac{x^2}{2} \)

Задача в)

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной кругом \( x^2 + y^2 = 16 \) и параболой \( y^2 = 6x \).

1. Найдём точки пересечения кривых.

1. Из уравнения окружности: \[ x^2 + y^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 16 - x^2. \]
2. Уравнение параболы: \[ y^2 = 6x. \]

Приравняем правые части этих уравнений: \[ 16 - x^2 = 6x. \]

Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + 6x - 16 = 0. \]

Найдем корни по формуле: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}. \]

Корни: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -8. \]

Отрицательный корень \( x_2 = -8 \) нам не подходит, так как парабола определена только для положительных значений \( x \). Следовательно, точки пересечения: \( x = 2 \).

2. Выражаем площади через интегралы.

Площадь фигуры между двумя кривыми определяется выражением: \[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx, \]

где:

• \( f(x) \) — верхняя кривая,
• \( g(x) \) — нижняя кривая.

Для нашей задачи:

• Кривая \( y = \sqrt{16 - x^2} \) (верхняя часть окружности),
• Кривая \( y = \sqrt{6x} \) (парабола).

Площадь нужно найти на интервале \( [0; 4] \) (согласно рисунку).

Запишем интеграл для площади: \[ S = 2 \int_{0}^{2} \left( \sqrt{16 - x^2} - \sqrt{6x} \right) dx. \]

3. Решим каждый интеграл по отдельности.

1. Интеграл для окружности: \[ \int \sqrt{16 - x^2} dx \] — стандартный интеграл, равный: \[ = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{16 - x^2} + 16 \arcsin\left(\frac{x}{4}\right)\right). \]
2. Интеграл для параболы: \[ \int \sqrt{6x} dx = \int \sqrt{6} \cdot x^{1/2} dx = \frac{2\sqrt{6}}{3} x^{3/2}. \]

Подставляя пределы, можно найти площадь \( S \).

Задача г)

Для задачи г) аналогично: зададим интегралы, которые описывают разность между кривыми, и решим, используя технику интегрирования.