Найдите площадь плоской фигуры ограниченной линиями: x-y^2, x=0, y=-1

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Кратные интегралы (двойной интеграл), площадь плоской фигуры

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. Парабола: x = y^2
2. Прямая: x = 0 (ось y)
3. Прямая: y = -1

Поясним, что означает каждая из этих кривых:

• x = y^2 — это парабола, "открытая" вправо.
• x = 0 — это ось y, то есть левая граница области.
• y = -1 — это горизонтальная прямая, нижняя граница области.

Чтобы найти площадь, нужно определить границы области интегрирования.

Шаг 1: Определим границы области

Мы выразим все через переменную y.

Граница по y:

• Снизу: y = -1
• Сверху: так как x = y^2 и x = 0 пересекаются при y = 0, верхняя граница: y = 0

Граница по x для каждого y:

• Слева: x = 0
• Справа: x = y^2

Итак, область лежит между x = 0 и x = y^2 при y \in [-1, 0]

Шаг 2: Запишем двойной интеграл для площади

Площадь области D можно найти по формуле:

 S = \iint\limits_D dx\,dy 

Подставим границы:

 S = \int_{y = -1}^{0} \int_{x = 0}^{y^2} dx\,dy 

Шаг 3: Вычислим внутренний интеграл

 \int_{x=0}^{y^2} dx = y^2 - 0 = y^2 

Теперь внешний интеграл:

 S = \int_{-1}^{0} y^2\,dy 

Вычислим:

 \int_{-1}^{0} y^2\,dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} 

Ответ:

S = \frac{1}{3}

Площадь заданной фигуры равна \frac{1}{3} единиц площади.