Найдите площадь фигуры ограниченной линиями

Мы имеем задание из курса математического анализа, посвященное нахождению площади фигуры, ограниченной заданными кривыми. В данном случае, это площади фигуры, ограниченной линией \(y = -x^2 + 9\), осью абсцисс (\(y = 0\)), и двумя вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 1\).

Задано:

• \[ y = -x^2 + 9 \]
• \[ y = 0 \]
• \[ x = 0 \]
• \[ x = 1 \]

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Шаги для решения:

1. Выпишем границы интегрирования. Подынтегральная функция пересекается с \(y = 0\) при \(x = 0\) и \(x = 1\). Следовательно, границы интегрирования \(x\) равны от 0 до 1.
2. Подынтегральная функция для площади задана как \( y = -x^2 + 9 \).
3. Интегрируем функцию по \(x\) на заданном интервале от 0 до 1.
   • \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 9) \, dx \]
   • Рассчитаем интеграл пошагово: \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 9) \, dx = \int_{0}^{1} -x^2 \, dx + \int_{0}^{1} 9 \, dx \]
4. Найдем каждый интеграл отдельно:
   • \[ \int_{0}^{1} -x^2 \, dx = -\int_{0}^{1} x^2 \, dx \]
   • По формуле интегрирования степенных функций: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Здесь \( n = 2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Rightarrow -\int_{0}^{1} x^2 \, dx = -\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{1} = -\left ( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right ) = -\frac{1}{3} \]
   • Теперь найдём второй интеграл: \[ \int_{0}^{1} 9 \, dx = 9 \int_{0}^{1} dx = 9 \left[ x \right]_{0}^{1} = 9(1 - 0) = 9 \]
5. Суммируем результаты обоих интегралов: \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 9) \, dx = -\frac{1}{3} + 9 = \frac{-1 + 27}{3} = \frac{26}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна \(\frac{26}{3}\).