Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функции

Условие:

Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функции y=x+3, y=x²+3

Решение:

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо:

  1. Найти точки пересечения графиков функций.
  2. Вычислить интеграл разности верхней и нижней функции на промежутке, определённом точками пересечения.

Даны функции:
y = x + 3
y = x^2 + 3.

1. Найдём точки пересечения графиков

Для этого приравняем функции:
x + 3 = x^2 + 3.

Упростим уравнение:
x^2 - x = 0.

Вынесем x за скобки:
x(x - 1) = 0.

Получаем два корня:
x = 0 и x = 1.

Значит, графики пересекаются в точках (0, 3) и (1, 4).

2. Определим, какая функция является верхней, а какая нижней

На промежутке [0, 1] функция y = x + 3 (прямая) лежит выше функции y = x^2 + 3 (парабола).

3. Найдём площадь

Площадь между графиками вычисляется по формуле:
S = \int_{a}^{b} \left[f_1(x) - f_2(x)\right] dx,
где f_1(x) — верхняя функция, а f_2(x) — нижняя функция.

В нашем случае:
S = \int_{0}^{1} \left[(x + 3) - (x^2 + 3)\right] dx.

Упростим подынтегральное выражение:
S = \int_{0}^{1} \left[x + 3 - x^2 - 3\right] dx = \int_{0}^{1} \left[x - x^2\right] dx.

Вычислим интеграл:
\int_{0}^{1} \left[x - x^2\right] dx = \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} x^2 dx.

Найдём каждый интеграл:

  1. \int_{0}^{1} x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.
  2. \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.

Теперь подставим значения:
S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}.

Приведём к общему знаменателю:
S = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x + 3 и y = x^2 + 3, равна \frac{1}{6}.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн