Найдите объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной указанными линиями

Это задание относится к разделу высшей математики, а именно к вычислительной геометрии и интегральному исчислению.

Задана задача на нахождение объема тела вращения. Ось вращения - OX, следовательно, для нахождения объема необходимо использовать формулу объема тела вращения, которая выводится из определенного интеграла: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Где \( f(x) \) это функция, ограничивающая фигуру, которую вращают вокруг оси OX, \( a \) и \( b \) - пределы интегрирования, соответствующие интервалу значений x, на котором ограничена фигура.

Теперь давайте найдем точки пересечения функций, чтобы определить пределы интегрирования: \[ x(2-x) = \frac{x}{2-x} \] \[ x(2-x)(2-x) = x \] \[ 2x - x^2 = 1 \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] Отсюда следует, что \( x = 1 \) - точка пересечения функций.

Теперь интегрируем по интервалу от \( a = 0 \) до \( b = 1 \), так как y=0 является нижней границей фигуры, и функции пересекаются при x=1. Объем тела вращения для \( y = x(2 - x) \) вокруг оси OX:

\[ V_1 = \pi \int_{0}^{1} [x(2 - x)]^2 dx \]

Прежде чем решать интеграл, найдем квадрат функции: \[ f(x)^2 = [x(2 - x)]^2 = x^2(2 - x)^2 = x^2(4 - 4x + x^2) = 4x^2 - 4x^3 + x^4 \]

Теперь интегрируем по частям: \[ V_1 = \pi \int_{0}^{1} (4x^2 - 4x^3 + x^4) dx \]

\[ V_1 = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 - x^4 + \frac{1}{5}x^5 \right]_0^1 \]

\[ V_1 = \pi \left( \frac{4}{3} - 1 + \frac{1}{5} \right) - \pi \left( 0 \right) \]

\[ V_1 = \pi \left( \frac{4}{3} - \frac{3/3} + \frac{1/5} \right) \]

\[ V_1 = \pi \left( \frac{1/3} + \frac{1/5} \right) \]

\[ V_1 = \pi \left( \frac{5/15} + \frac{3/15} \right) \]

\[ V_1 = \pi \frac{8}{15} \]

Таким образом, объем тела вращения для заданной функции вокруг оси OX равняется \( \frac{8\pi}{15} \) кубических единиц.