Найдите объем тела, ограниченного линиями

Предмет: Математика
Раздел: Многомерное интегрирование, вычисление объема тела

Нужно найти объем тела, ограниченного поверхностями:
z=0,
z=3,
x^2 + y^2 = 1,
x^2 + y^2 - z = 1.

Анализ задачи

1. Поверхности z=0 и z=3 — горизонтальные плоскости, ограничивающие тело снизу и сверху.
2. Поверхность x^2 + y^2 = 1 — цилиндр с радиусом 1, параллельный оси z.
3. Поверхность x^2 + y^2 - z = 1 можно переписать как z = x^2 + y^2 - 1 — параболоид.

Нужно понять, как эти поверхности ограничивают тело.

Шаг 1: Определение области в плоскости (x,y)

Из цилиндра x^2 + y^2 = 1 следует, что r \leq 1 в полярных координатах, где r = \sqrt{x^2 + y^2}.

Шаг 2: Определение границ по z

• Нижняя граница по z — плоскость z=0.
• Верхняя граница по z — плоскость z=3.
• Поверхность z = x^2 + y^2 - 1 = r^2 - 1.

Нужно понять, где параболоид лежит относительно плоскостей z=0 и z=3.

Шаг 3: Определение области по z внутри цилиндра

• При r=0, z = 0^2 - 1 = -1.
• При r=1, z = 1 - 1 = 0.

Параболоид поднимается от z=-1 при r=0 до z=0 при r=1.

Шаг 4: Определение тела

• Параболоид z = r^2 - 1 лежит ниже плоскости z=0 на всей области r \leq 1.
• Плоскость z=0 выше параболоида.
• Плоскость z=3 выше всех.

Шаг 5: Проверка ограничений

Тело ограничено:

• Снизу: z=0.
• Сверху: z=3.
• Вдоль x,y: r \leq 1.

Параболоид z = r^2 - 1 находится ниже плоскости z=0 (от -1 до 0), значит он не ограничивает тело сверху или снизу, а лежит ниже плоскости z=0. Следовательно, тело между z=0 и z=3 ограничено цилиндром r \leq 1.

Вывод

Объем тела — это объем цилиндра высотой 3 и радиусом 1, так как параболоид находится ниже плоскости z=0 и не влияет на тело, ограниченное z=0 и z=3.

Шаг 6: Вычисление объема

Объем цилиндра:

 V = \pi r^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 3 = 3\pi 

Ответ:

 \boxed{V = 3\pi}