Найди площадь фигуры ограниченной линиями

Данное задание относится к области математики, разделу интегралов, а именно нахождению площади фигуры, ограниченной кривыми. Мы найдем площадь фигуры, ограниченной заданными прямыми.

Шаг 1. Определение границ фигуры

Рассмотрим данные уравнения:

• \( y = x \)
• \( y = 13 - x \)
• \( x = 0 \)
• \( x = 4 \)

Эти прямые образуют замкнутую область на плоскости.

Шаг 2. Построение графика

Построим каждый график:

1. \( y = x \) — это прямая с угловым коэффициентом 1, которая проходит через точки \( (0, 0) \) и \( (4, 4) \).
2. \( y = 13 - x \) — это прямая с отрицательным угловым коэффициентом -1, которая проходит через точки \( (0, 13) \) и \( (4, 9) \).
3. \( x = 0 \) — это вертикальная прямая по оси \( y \), проходящая через все точки, где \( x = 0 \).
4. \( x = 4 \) — это вертикальная прямая на оси \( y \), проходящая через все точки, где \( x = 4 \).

Мы ищем область, ограниченную в пределах от \( x = 0 \) до \( x = 4 \), между линиями \( y = x \) и \( y = 13 - x \).

Шаг 3. Определение функции для площади

Площадь между двумя кривыми \( f(x) \) и \( g(x) \), ограниченную по оси \( x \) от \( a \) до \( b \), находится как интеграл:

\[ S = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) dx \]

В данном случае:

• Верхняя граница — это функция \( y = 13 - x \),
• Нижняя граница — это функция \( y = x \).

Следовательно, площадь:

\[ S = \int_0^4 \left((13 - x) - x \right) dx = \int_0^4 (13 - 2x) dx \]

Шаг 4. Вычисление интеграла

Найдем интеграл от выражения \( 13 - 2x \).

\[ \int (13 - 2x) dx = 13x - x^2 + C \]

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 4:

\[ S = \left[ 13x - x^2 \right]_0^4 = \left( 13 \cdot 4 - 4^2 \right) - \left( 13 \cdot 0 - 0^2 \right) \]

\[ S = (52 - 16) - (0 - 0) = 36 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной прямыми \( y = x \), \( y = 13 - x \), \( x = 0 \), \( x = 4 \), равна 36.