Найди объем тела полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции ограниченной линиями

Данное задание

Относится к предмету математика, раздел интегральное исчисление, тема — объем тела вращения.

Рассмотрим задачу:

Нам необходимо найти объем тела, которое получается при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс (оси \( x \)).

Трапеция ограничена линиями:

• \( y = x^2 + 3 \) — это парабола,
• \( x = 0 \) — вертикальная прямая,
• \( x = 3 \) — вертикальная прямая,
• \( y = 0 \) — ось абсцисс.

Общая формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси \( x \):

Объем тела вращения, полученный при вращении графика функции \( y = f(x) \) на отрезке \( [a, b] \) вокруг оси \( x \), вычисляется по формуле:

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx \]

Применение формулы

1. Функция: в данной задаче \( y = x^2 + 3 \), значит \( f(x) = x^2 + 3 \).
2. Пределы интегрирования (отрезок вращения): \( x \) изменяется от \( 0 \) до \( 3 \). Значит, объем тела вращения можно вычислить по следующей формуле:

\[ V = \pi \int_0^3 (x^2 + 3)^2 dx \]

3. Раскроем квадрат \( (x^2 + 3)^2 \):

\[ (x^2 + 3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9 \]

4. Подставим это выражение в интеграл:

\[ V = \pi \int_0^3 (x^4 + 6x^2 + 9) dx \]

5. Теперь найдём интеграл:

\[ \int_0^3 x^4 dx = \frac{x^5}{5} \Big|_0^3 = \frac{3^5}{5} - 0 = \frac{243}{5} \]
\[ \int_0^3 6x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^3 = 6 \cdot \left( \frac{3^3}{3} \right) = 6 \cdot 9 = 54 \]
\[ \int_0^3 9 dx = 9x \Big|_0^3 = 9 \cdot 3 = 27 \]

6. Теперь подставим все полученные значения обратно в формулу для объема:

\[ V = \pi \left( \frac{243}{5} + 54 + 27 \right) \]

7. Приведём всё к общему знаменателю:

\[ V = \pi \left( \frac{243}{5} + \frac{270}{5} + \frac{135}{5} \right) = \pi \cdot \frac{648}{5} \]

8. Выполним умножение:

\[ V = \frac{648\pi}{5} \]

Ответ: Объем тела вращения равен \(\frac{648\pi}{5}\) кубических единиц.