Найди интеграл не используя формулы sec и csc

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ – Интегралы (неопределённые интегралы, замена переменной)

Найдем интеграл:

 \int \frac{dx}{(\arccos x)^3 \cdot \sqrt{1 - x^2}} 

Шаг 1: Замена переменной

Пусть:

 t = \arccos x 

Тогда:

 x = \cos t 

Теперь найдём производную:

 dx = -\sin t \, dt 

Также:

 \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \cos^2 t} = \sin t 

Подставим всё в интеграл:

 \int \frac{dx}{(\arccos x)^3 \cdot \sqrt{1 - x^2}} = \int \frac{-\sin t \, dt}{t^3 \cdot \sin t} 

Сократим \sin t:

 \int \frac{-dt}{t^3} = -\int t^{-3} \, dt 

Шаг 2: Интегрирование

 -\int t^{-3} \, dt = -\left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) = \frac{1}{2t^2} + C 

Шаг 3: Возвращаемся к переменной x

Так как t = \arccos x, получаем:

 \frac{1}{2(\arccos x)^2} + C 

Ответ:

 \boxed{\int \frac{dx}{(\arccos x)^3 \cdot \sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{2(\arccos x)^2} + C}