Найдем объем тела, ограниченного следующими поверхностями

Предмет: Математика

Раздел: Многомерные интегралы

Найдем объем тела, ограниченного следующими поверхностями:

• z = \frac{c}{a}x,
• y^2 = \frac{b^2}{a}x,
• x = a,
• z = 0.

Решение:

1. Анализ задачи
   Тело ограничено:

• плоскостью z = \frac{c}{a}x,
• параболическим цилиндром y^2 = \frac{b^2}{a}x,
• плоскостью x = a,
• плоскостью z = 0.

Для нахождения объема используем тройной интеграл:
 V = \iiint\limits_{D} dx\, dy\, dz, 
где D — область, ограничивающая тело.

2. Область интегрирования

• По оси x: 0 \leq x \leq a.
• По оси y: из уравнения y^2 = \frac{b^2}{a}x следует, что y изменяется от -\sqrt{\frac{b^2}{a}x} до \sqrt{\frac{b^2}{a}x}.
• По оси z: z изменяется от 0 до \frac{c}{a}x.

Таким образом, объем выражается как:
 V = \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{-\sqrt{\frac{b^2}{a}x}}^{\sqrt{\frac{b^2}{a}x}} \int\limits_{0}^{\frac{c}{a}x} dz\, dy\, dx. 

3. Вычисление интеграла
   Сначала вычислим интеграл по z:
    \int\limits_{0}^{\frac{c}{a}x} dz = \frac{c}{a}x. 

Теперь объем становится:
 V = \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{-\sqrt{\frac{b^2}{a}x}}^{\sqrt{\frac{b^2}{a}x}} \frac{c}{a}x \, dy \, dx. 

Вычислим интеграл по y:
 \int\limits_{-\sqrt{\frac{b^2}{a}x}}^{\sqrt{\frac{b^2}{a}x}} dy = 2\sqrt{\frac{b^2}{a}x}. 

Подставим это в выражение для объема:
 V = \int\limits_{0}^{a} \frac{c}{a}x \cdot 2\sqrt{\frac{b^2}{a}x} \, dx. 

Вынесем постоянные множители:
 V = \frac{2cb}{a\sqrt{a}} \int\limits_{0}^{a} x \sqrt{x} \, dx. 

Представим x\sqrt{x} как x^{3/2} и вычислим интеграл:
 \int\limits_{0}^{a} x^{3/2} \, dx = \left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{0}^{a} = \frac{2}{5}a^{5/2}. 

Подставим это в выражение для объема:
 V = \frac{2cb}{a\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{5}a^{5/2}. 

Упростим:
 V = \frac{4cb}{5a\sqrt{a}} \cdot a^{5/2} = \frac{4cb}{5a} \cdot a^{2} = \frac{4cb}{5}a. 

Ответ:

Объем тела равен:
 V = \frac{4abc}{5}.