Нахождение площади области, ограниченной кривыми

Это задание относится к предмету математика, раздел интегральное исчисление (интегралы). Для нахождения площади области, ограниченной кривыми, мы будем использовать определённый интеграл.

Задача:

Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. \( y = 8 + \sin x \)
2. \( y = 0 \) (ось \( x \))
3. \( x = 0 \)
4. \( x = \frac{\pi}{2} \)

Пояснение:

Площадь между кривой \( y = f(x) \) и осью \( x \), от \( x = a \) до \( x = b \), вычисляется с помощью определённого интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Применим данную формулу для нашей задачи.

1. Функция \( f(x) = 8 + \sin x \)
2. Нижний предел интегрирования \( x = 0 \)
3. Верхний предел интегрирования \( x = \frac{\pi}{2} \)

Площадь S задаётся интегралом:

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (8 + \sin x) \, dx \]

Разобьём этот интеграл на два:

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 8 \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \]

Шаг 1: Решим интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 8 \, dx\)

Поскольку 8 — это константа, интегрирование просто означает умножение константы на длину отрезка \( [0, \frac{\pi}{2}] \):

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 8 \, dx = 8 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = 8 \cdot \frac{\pi}{2} = 4\pi \]

Шаг 2: Решим интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx\)

Из таблицы интегралов известно, что:

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x \]

Теперь необходимо подставить пределы \( 0 \) и \( \frac{\pi}{2} \):

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) \]

Мы знаем, что:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{и} \quad \cos(0) = 1 \]

Подставляем:

\[ -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1 \]

Шаг 3: Найдём общую площадь:

Теперь складываем результаты двух интегралов:

Итог:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = 8 + \sin x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \), равна:

\[ S = 4\pi + 1 \]