Нахождение площади фигуры, ограниченной двумя функциями

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями, нужно:

1. Найти точки пересечения функций ( f(x) ) и ( g(x) ).
2. Вычислить интеграл разности ( f(x) - g(x) ) на найденном промежутке.

Шаг 1. Найдем точки пересечения ( f(x) = g(x) )

Функции заданы как: [ f(x) = 6x - x^2 ] [ g(x) = x ]

Для нахождения точек пересечения решаем уравнение: [ f(x) = g(x) ] Подставляем: [ 6x - x^2 = x ] Приводим уравнение к стандартному виду: [ -x^2 + 6x - x = 0 ] [ -x^2 + 5x = 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(-x + 5) = 0 ] Решаем: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5 ]

Таким образом, точки пересечения функций: ( x = 0 ) и ( x = 5 ).

Шаг 2. Определим разность функций

Так как ( f(x) ) находится выше ( g(x) ) на промежутке ([0, 5]), разность функций будет: [ f(x) - g(x) = (6x - x^2) - x = 6x - x^2 - x = 5x - x^2 ]

Шаг 3. Вычислим площадь

Площадь фигуры равна определенному интегралу разности функций на промежутке ([0, 5]): [ S = \int{0}^{5} (f(x) - g(x)) \, dx = \int{0}^{5} (5x - x^2) \, dx ]

Рассчитаем интеграл: [ \int (5x - x^2) \, dx = \int 5x \, dx - \int x^2 \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} ]

Подставим пределы интегрирования: [ S = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} ]

Сначала подставим верхний предел (( x = 5 )): [ \frac{5(5)^2}{2} - \frac{(5)^3}{3} = \frac{5 \cdot 25}{2} - \frac{125}{3} = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} ]

Приведем к общему знаменателю (( 6 )): [ \frac{125}{2} = \frac{375}{6}, \quad \frac{125}{3} = \frac{250}{6} ] [ \frac{375}{6} - \frac{250}{6} = \frac{125}{6} ]

Теперь подставим нижний предел (( x = 0 )): [ \frac{5(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} = 0 ]

Итак, площадь фигуры: [ S = \frac{125}{6} - 0 = \frac{125}{6} ]

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{125}{6} или приблизительно ( 20.83 ).