Нахождение площади фигуры между графиком функции

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Для нахождения площади фигуры между графиком функции f(x) = -x^3 + 4x и осью OX, необходимо:

1. Найти точки пересечения графика функции с осью OX.
2. Определить знаки функции на каждом интервале между этими точками.
3. Вычислить площадь, используя определённый интеграл, при необходимости разбивая его на несколько частей, чтобы учесть изменение знака функции.

Шаг 1. Найдём точки пересечения графика с осью OX.

График пересекает ось OX, когда f(x) = 0. Решим уравнение:

f(x) = -x^3 + 4x = 0

Вынесем x за скобки:

x(-x^2 + 4) = 0

Разобьём на множители:

x = 0
-x^2 + 4 = 0
x^2 = 4
x = \pm 2

Точки пересечения: x = -2, x = 0, x = 2.

Шаг 2. Определим знаки функции на каждом интервале.

Интервалы: x \in (-\infty, -2), x \in (-2, 0), x \in (0, 2), x \in (2, \infty).

Подставим значения из каждого интервала в функцию:

1. Для x = -3 (интервал (-\infty, -2)):
   f(-3) = -(-3)^3 + 4(-3) = 27 - 12 = 15 > 0.
   Знак: положительный.

2. Для x = -1 (интервал (-2, 0)):
   f(-1) = -(-1)^3 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 < 0.
   Знак: отрицательный.

3. Для x = 1 (интервал (0, 2)):
   f(1) = -(1)^3 + 4(1) = -1 + 4 = 3 > 0.
   Знак: положительный.

4. Для x = 3 (интервал (2, \infty)):
   f(3) = -(3)^3 + 4(3) = -27 + 12 = -15 < 0.
   Знак: отрицательный.

Шаг 3. Вычислим площадь фигуры.

Площадь фигуры между графиком и осью OX равна сумме модулей интегралов на каждом из интервалов, где функция меняет знак.

1. На интервале [-2, 0], функция отрицательная, поэтому берём модуль:
   S_1 = \int_{-2}^{0} |f(x)| \, dx = -\int_{-2}^{0} f(x) \, dx.

2. На интервале [0, 2], функция положительная:
   S_2 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx.

Итак, общая площадь:

S = S_1 + S_2 = -\int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx.

Шаг 4. Вычислим интегралы.

Функция: f(x) = -x^3 + 4x. Найдём первообразную:

\int f(x) \, dx = \int (-x^3 + 4x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + 2x^2 + C.

1. Вычислим S_1:
   S_1 = -\int_{-2}^{0} (-x^3 + 4x) \, dx = -\left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{-2}^{0}.

   Подставим пределы:
   Для x = 0:
   -\frac{(0)^4}{4} + 2(0)^2 = 0.
   Для x = -2:
   -\frac{(-2)^4}{4} + 2(-2)^2 = -\frac{16}{4} + 2(4) = -4 + 8 = 4.

   Тогда:
   S_1 = -(0 - 4) = 4.

2. Вычислим S_2:
   S_2 = \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{0}^{2}.

   Подставим пределы:
   Для x = 2:
   -\frac{(2)^4}{4} + 2(2)^2 = -\frac{16}{4} + 2(4) = -4 + 8 = 4.
   Для x = 0:
   -\frac{(0)^4}{4} + 2(0)^2 = 0.

   Тогда:
   S_2 = 4 - 0 = 4.

Шаг 5. Найдём общую площадь.

S = S_1 + S_2 = 4 + 4 = 8.

Ответ:

Площадь фигуры между осью OX и графиком функции равна 8 единиц площади.