Нахождение площади фигуры, которую описывает график функции

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы и их применение. Вычисление площади фигуры.

Пояснение:

Задание связано с нахождением площади фигуры, которую описывает график функции \( f(x) = x^2 \), ось абсцисс (прямая \( y = 0 \)), и вертикальные прямые \( x = 3 \) и \( x = 6 \). Это значит, что у нас есть кривая, и нужно вычислить площадь между графиком этой функции и осью \( x \) на отрезке от 3 до 6.

Как решить задачу:

Чтобы найти площадь под графиком функции на отрезке от \( x = 3 \) до \( x = 6 \), нужно вычислить определённый интеграл функции \( f(x) = x^2 \) на этом промежутке. Формула площади, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми \( x = a \) и \( x = b \), задаётся следующим интегралом:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

В нашем случае функция \( f(x) = x^2 \), а пределы интегрирования \( a = 3 \) и \( b = 6 \). Значит, площадь можно вычислить как:

\[ S = \int_{3}^{6} x^2 \, dx \]

Пошаговое решение:

1. Воспользуемся формулой для интеграла от степенной функции. Интеграл от \( x^n \) равен: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

   В нашем случае \( n = 2 \), так что:

   \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]

2. Применим подстановку пределов интегрирования и вычислим определённый интеграл:

   \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_3^6 \]

   Это означает, что нужно подставить пределы интегрирования \( 6 \) и \( 3 \) в результат интеграла и найти разность:

   \[ S = \frac{6^3}{3} - \frac{3^3}{3} \]

3. Выполним вычисления:

   \( 6^3 = 216, \quad 3^3 = 27 \)

   Теперь подставляем:

   \[ S = \frac{216}{3} - \frac{27}{3} \]

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна 63. \( S = 63 \).

\[ S = 72 - 9 = 63 \]