Нахождение общего интеграла дифференциального уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Задача 2.6 требует нахождения общего интеграла дифференциального уравнения:

\[ xy' = \frac{3y^3 + 4yx^2}{2y^2 + 2x^2} \]

Шаг 1. Приведение уравнения к удобному виду.

Перепишем данное уравнение:

\[ xy' = \frac{3y^3 + 4yx^2}{2y^2 + 2x^2} \]

Для упрощения выражения выделим общий множитель в числителе и знаменателе:

\[ xy' = \frac{y(3y^2 + 4x^2)}{2(y^2 + x^2)} \]

Шаг 2. Разделение переменных.

Если возможно, преобразуем уравнение так, чтобы переменные были разделены. То есть, добьемся того, чтобы одна сторона уравнения содержала только переменные \(x\), а другая — только переменные \(y\).

Пытаемся разделить уравнение:

\[ y' = \frac{3y^2 + 4x^2}{2xy^2 + 2x^3} \]