Нахождение неопределённого интеграла функции

Это задание по математике, раздел "интегральное исчисление".

Нашей целью является нахождение неопределённого интеграла функции: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}-4\sqrt{1-2x}}. \]

Обозначим \( u = \sqrt{1-2x} \).

1. Найдем производную \( du \) по \( dx \):

\[ u = \sqrt{1-2x}, \]

\[ u^2 = 1-2x. \]

Найдем производную от обеих частей уравнения по \( x \):

\[ \frac{d}{dx}(u^2) = \frac{d}{dx}(1-2x), \]

\[ 2u \frac{du}{dx} = -2, \]

\[ \frac{du}{dx} = \frac{-1}{u}, \]

\[ dx = -u \, du. \]

Теперь выразим интеграл через \( u \):

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}-4\sqrt{1-2x}} = \int \frac{-u \, du}{u - 4u}. \]

Упростим интеграл:

\[ = \int \frac{-u \, du}{-3u}, \]

\[ = \int \frac{-u \, du}{-3u} = \int \frac{1}{3} \, du, \]

\[ = \frac{1}{3} \int du. \]

Теперь интегрируем \( du \):

\[ \int du = u + C, \]

где \( C \) - константа интеграции.

Таким образом, наш интеграл принимает вид:

\[ \frac{1}{3} (u + C) = \frac{1}{3} u + \frac{1}{3} C, \]

\[ = \frac{1}{3} \sqrt{1-2x} + \frac{C}{3}. \]

Запишем окончательный ответ:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}-4\sqrt{1-2x}} = \frac{1}{3} \sqrt{1-2x} + C, \]

где \( C \) - произвольная константа интеграции.