Нахождение неопределенного интеграла

Этот пример задает задачу на нахождение неопределенного интеграла, поэтому это относится к предмету математики, особоженности к разделу математического анализа. Рассмотрим данное выражение: \[ \int e^{\frac{x}{3}} \, dx = ke^{\frac{x}{3}} + C \] Необходимо найти значение константы \( k \). Для начала, давайте произведем замену переменной. Пусть \( u = \frac{x}{3} \). Тогда \( x = 3u \) и \( dx = 3 \, du \). Теперь преобразуем интеграл: \[ \int e^{\frac{x}{3}} \, dx = \int e^u \cdot 3 \, du \] Это равно: \[ 3 \int e^u \, du \] Интеграл от \( e^u \) равен \( e^u \). Таким образом, получаем: \[ 3 \int e^u \, du = 3e^u + C \] Теперь заменим \( u \) обратно на \( \frac{x}{3} \): \[ 3e^u + C = 3e^{\frac{x}{3}} + C \] Получаем, что значение \( k \) равно 3, так как: \[ \int e^{\frac{x}{3}} \, dx = 3e^{\frac{x}{3}} + C \] Таким образом, \( k = 3 \).