Множество первообразных функции имеет вид

Данный вопрос относится к предмету математика, а именно к разделу математического анализа и теме интегралов и первообразных.

Первообразная функции \(f(x)\) — это такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\). Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x) = \ln(2x)\), нужно выполнить интегрирование этой функции.

Шаг 1: Упростим интегральное выражение. \[\int \ln(2x) \, dx\]

Шаг 2: Применим метод интегрирования по частям. Вспомогательная формула интегрирования по частям: \[\int u \, dv = uv - \int v \, du,\] где \(u = \ln(2x)\) и \(dv = dx\).

Шаг 3: Определим производную \(u\) и интеграл \(dv\):

\[ u = \ln(2x) \Rightarrow du = \frac{d(\ln(2x))}{dx} = \frac{2}{2x} \, dx = \frac{1}{x} \, dx, \]

\[dv = dx \Rightarrow v = x.\]

Шаг 4: Подставим \(u\), \(v\), \(du\), и \(dv\) в формулу интегрирования по частям:

\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - \int x \frac{1}{x} \, dx = x \ln(2x) - \int 1 \, dx. \]

Шаг 5: Интегрируем константу: \[\int 1 \, dx = x.\]

Шаг 6: Подставим результаты:

\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - x + C = x (\ln(2x) - 1) + C, \] где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, множество первообразных функции \(f(x) = \ln(2x)\) имеет вид: \[ F(x) = x (\ln(2x) - 1) + C, \] где \(C\) — произвольная константа.