Методы интегрирования рациональных дробей

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (методы интегрирования рациональных дробей)

Решение:

Дан интеграл:

 \int \frac{x - 1}{x^2 - x} \,dx 

1. Разложение знаменателя

Заметим, что знаменатель можно разложить на множители:

 x^2 - x = x(x - 1) 

Таким образом, исходный интеграл принимает вид:

 \int \frac{x - 1}{x(x - 1)} \,dx 

2. Разложение дроби на простейшие

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

 \frac{x - 1}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} 

Умножим обе части на знаменатель x(x - 1), получим:

 x - 1 = A(x - 1) + Bx 

3. Определение коэффициентов

Распишем уравнение:

 x - 1 = A(x - 1) + Bx 

Раскрываем скобки:

 x - 1 = Ax - A + Bx 

Группируем члены:

 x - 1 = (A + B)x - A 

Приравниваем коэффициенты:

1. A + B = 1
2. -A = -1 \Rightarrow A = 1

Подставляем A = 1 во второе уравнение:

1 + B = 1 \Rightarrow B = 0

4. Интегрирование

Подставляем найденные значения A и B:

 \frac{x - 1}{x(x - 1)} = \frac{1}{x} 

Тогда интеграл принимает вид:

 \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C 

Ответ:

 \ln |x| + C