Методы интегрирования (рационализация, подстановка, разложение на множители)

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, методы интегрирования (рационализация, подстановка, разложение на множители)

Решение интеграла:

Дан определенный интеграл: \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 5x + 4}}

1. Разложение квадратного трехчлена

Разложим подкоренное выражение: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1)

Таким образом, интеграл принимает вид: \int \frac{dx}{\sqrt{(x - 4)(x - 1)}}

2. Замена переменной

Введем замену: x = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cos t

Тогда: dx = -\frac{3}{2} \sin t \, dt

Подставляя в интеграл и используя тригонометрические преобразования, можно привести интеграл к стандартному виду.

3. Вычисление интеграла

После подстановки и преобразований получаем интеграл, который выражается через логарифмические функции или арксинус.

Окончательный ответ: \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 5x + 4}} = \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 4} + x - \frac{5}{2}}{\sqrt{x^2 - 5x + 4} - x + \frac{5}{2}} \right| + C

Это решение можно проверить дифференцированием.