Методом подведения под знак дифференциала

Это задание относится к математике, разделу интегралов — определённых интегралов, с использованием метода подведения под знак дифференциала. Решим определённый интеграл: \[ \int_{3}^{6} \frac{5 \, dx}{\sqrt{3x - 2}} \]

Шаг 1: Замена под знаком дифференциала

Обозначим подкоренное выражение \(3x - 2 = t^2\), где \(t > 0\) (поскольку подкоренное выражение положительно). Теперь вычислим дифференциал от \(t^2\):

\[ 3x - 2 = t^2 \implies 3dx = 2t \, dt \implies dx = \frac{2t \, dt}{3}. \]

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования

При \(x = 3\):

\[ 3x - 2 = 3(3) - 2 = 7 \implies t = \sqrt{7}. \]

При \(x = 6\):

\[ 3x - 2 = 3(6) - 2 = 16 \implies t = \sqrt{16} = 4. \]

Теперь пределы интегрирования изменятся:

\[ x \in [3, 6] \rightarrow t \in [\sqrt{7}, 4]. \]

Шаг 3: Подстановка и упрощение интеграла

Заменим выражение в интеграле:

\[ \int_{3}^{6} \frac{5 \, dx}{\sqrt{3x - 2}} \] становится

\[ \int_{\sqrt{7}}^{4} \frac{5}{\sqrt{t^2}} \cdot \frac{2t \, dt}{3}. \]

Так как \(\sqrt{t^2} = t\) для \(t > 0\):

\[ \int_{\sqrt{7}}^{4} \frac{5}{t} \cdot \frac{2t \, dt}{3}. \]

Сократим \(t\) в числителе и знаменателе:

\[ \int_{\sqrt{7}}^{4} \frac{10}{3} \, dt. \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

Вынесем константу \(\frac{10}{3}\) за знак интеграла:

\[ \frac{10}{3} \int_{\sqrt{7}}^{4} dt. \]

Проинтегрируем:

\[ \int dt = t. \]

Подставим пределы:

\[ \frac{10}{3} \left[ t \right]_{\sqrt{7}}^{4} = \frac{10}{3} \left(4 - \sqrt{7}\right). \]

Ответ:

\[ \frac{10}{3} \left(4 - \sqrt{7}\right). \]