Метод разложения на простейшие дроби

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (метод разложения на простейшие дроби)

Рассмотрим интеграл:
\int \frac{x^3 + 2x^2 - 18x + 17}{(x-3)(x+5)} \,dx

Шаг 1: Деление многочленов

Числитель x^3 + 2x^2 - 18x + 17 имеет степень больше знаменателя, поэтому сначала выполняем деление.

Разделим x^3 + 2x^2 - 18x + 17 на (x - 3)(x + 5).

Разделим многочлен x^3 + 2x^2 - 18x + 17 на x^2 + 2x - 15:

1. Первая часть частного: x, так как x^3 / x^2 = x.
2. Умножаем: x(x^2 + 2x - 15) = x^3 + 2x^2 - 15x.
3. Вычитаем:
   (x^3 + 2x^2 - 18x + 17) - (x^3 + 2x^2 - 15x) = -3x + 17.
4. Теперь делим -3x + 17 на x^2 + 2x - 15. Так как степень числителя меньше знаменателя, процесс деления завершен.

Таким образом, частное равно x, а остаток -3x + 17.

Теперь представим интеграл в виде:
\int x \,dx + \int \frac{-3x + 17}{(x-3)(x+5)} \,dx.

Шаг 2: Разложение на простейшие дроби

Рассмотрим дробь:
\frac{-3x + 17}{(x-3)(x+5)}.

Представим ее в виде:
\frac{-3x + 17}{(x - 3)(x + 5)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 5}.

Умножим обе части на (x - 3)(x + 5):
-3x + 17 = A(x + 5) + B(x - 3).

Шаг 3: Найдем коэффициенты A и B

Подставим удобные значения для x:

1. Пусть x = 3:
   -3(3) + 17 = A(3 + 5) + B(3 - 3),
   -9 + 17 = 8A,
   8 = 8A,
   A = 1.

2. Пусть x = -5:
   -3(-5) + 17 = A(-5 + 5) + B(-5 - 3),
   15 + 17 = -8B,
   32 = -8B,
   B = -4.

Таким образом, разложение имеет вид:
\frac{-3x + 17}{(x - 3)(x + 5)} = \frac{1}{x - 3} - \frac{4}{x + 5}.

Шаг 4: Интегрирование

Теперь интеграл принимает вид:
\int x \,dx + \int \frac{1}{x - 3} \,dx - \int \frac{4}{x + 5} \,dx.

Вычисляем:
\int x \,dx = \frac{x^2}{2},
\int \frac{1}{x - 3} \,dx = \ln |x - 3|,
\int \frac{4}{x + 5} \,dx = 4\ln |x + 5|.

Шаг 5: Запись окончательного ответа

\frac{x^2}{2} + \ln |x - 3| - 4\ln |x + 5| + C,
где C — произвольная константа интегрирования.