Метод неопределенных коэффициентов

Условие:

Решение:

Чтобы найти интеграл этой функции, мы можем воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, разложив дробь на простейшие, что часто применяется для рациональных функций. Итак, у нас есть: \[ \int \frac{x}{(x-1)(x^2+4x+5)} \, dx \] Мы ищем разложение вида: \[ \frac{x}{(x-1)(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5} \] Для нахождения коэффициентов A, B и C, мы умножим обе стороны на знаменатель левой части: \[ x = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)(x-1) \] Теперь, раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях уравнения. Это даст нам систему уравнений для нахождения A, B и C. Сложив уравнения для коэффициентов при x^2, x и свободных членов, получим: 1) Для x^2: A + B = 0 2) Для x: 4A - B + C = 1 3) Для свободного члена: 5A - C = 0 Теперь найдем значения A, B и C, решив систему уравнений: 1) A = -B 2) 4(-B) - B + C = 1 => -5B + C = 1 3) 5(-B) - C = 0 => C = -5B Из третьего уравнения имеем C = -5B. Подставим C во второе уравнение: -5B - 5B = 1 -10B = 1 B = -1/10 Далее, найдем A используя B: A = -B = 1/10 И C найдем из одного из предыдущих выражений: C = -5B = -5(-1/10) = 1/2 Теперь, зная коэффициенты, мы можем интегрировать каждый член разложения отдельно: \[ \int \frac{x}{(x-1)(x^2+4x+5)} \, dx = \int \frac{1/10}{x-1} \, dx + \int \frac{-x/10 + 1/2}{x^2+4x+5} \, dx \] Поскольку второй интеграл сложный, мы можем его разделить на два интеграла: \[ = \frac{1}{10} \int \frac{1}{x-1} \, dx - \frac{1}{10} \int \frac{x}{x^2+4x+5} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+4x+5} \, dx \] Первый интеграл принимает форму: \[ \frac{1}{10} \ln|x-1| + C_1 \] Второй интеграл можно упростить, зная что производная знаменателя равна производной числителя, что дает: \[ -\frac{1}{10} \ln|x^2+4x+5| + C_2 \] Третий интеграл - это интеграл от функции, которую можно разложить на полный квадрат в знаменателе и воспользоваться интегралом арктангенса. Делаем замену u = x^2 + 4x + 5, чтобы получить: