Математический анализ (пределы, интегралы, асимптотика)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (пределы, интегралы, асимптотика)

Разбор задания

Нам нужно вычислить предел

L = \lim_{B \to +\infty} \sin \left( \frac{2027 \cdot 2026}{368} \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\sin 2025Bx}{\sin x} \right)^2 dx \right)

и затем найти значение 48L^2.

Решение

1. Рассмотрим интеграл
   Рассматриваемый интеграл

   I(B) = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\sin 2025Bx}{\sin x} \right)^2 dx

   является классическим интегралом Дирихле, который при больших B асимптотически приближается к

   I(B) \approx \frac{\pi}{2} \cdot 2025B.

2. Подставляем в выражение
   Подставляем это в предел:

   \frac{2027 \cdot 2026}{368} I(B) \approx \frac{2027 \cdot 2026}{368} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 2025B.

   Это выражение линейно растёт при B \to \infty, а поскольку \sin x осциллирует, то

   \sin \left( \frac{2027 \cdot 2026}{368} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 2025B \right) \to 0

   по теореме о пределе осциллирующей функции.

   Следовательно, L = 0.

3. Вычисляем 48L^2
   Так как L = 0, то

   48L^2 = 48 \cdot 0^2 = 0.

Ответ

0.