Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Интегральное исчисление)
Вопрос: Какой формулой называют основную формулу интегрального исчисления?
Варианты ответов:
- Ньютона-Лейбница
- Римана
- средних
- Лагранжа
Решение:
Основной формулой интегрального исчисления называют формулу Ньютона-Лейбница.
Она выражает связь между определённым интегралом функции и её первообразной (или производной).
Формула выглядит следующим образом:
\[
\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a),
\]
где \( F(x) \) — это первообразная функции
\( f(x) \), а \( a \) и
\( b \) — это границы интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница играет ключевую роль в вычислении определенных интегралов и считается основой интегрального исчисления.
Верный ответ:
Обоснование:
- Формула Римана относится к понятию интеграла Римана, что больше связано с теоретическим обоснованием интегралов как предела сумм.
- Формула средних — это другая формулировка, чаще используется для аппроксимации в других контекстах.
- Формула Лагранжа относится к теореме о среднем значении и касательным в дифференциальном исчислении, но не к интегральному исчислению.
Закон Ньютона-Лейбница — это фундаментальный принцип математического анализа, связанный с определёнными интегралами.
Формулировка
Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), а \(F(x)\) — её первообразная на этом же промежутке, то:
\[
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
\]
где \(\int_a^b f(x) \, dx\) — определённый интеграл от \(f(x)\) на промежутке \([a, b]\).
Обоснование
По сути, закон Ньютона-Лейбница связывает два главных понятия анализа:
1.
Нахождение первообразной функции,
2.
Вычисление определённого интеграла.
Формула позволяет вычислять площадь под графиком функции \(f(x)\) на интервале \([a, b]\) с использованием значения её первообразной \(F(x)\).
Пример
Рассмотрим функцию \(f(x) = 2x\). Её первообразной будет \(F(x) = x^2\). Тогда:
\[
\int_0^2 2x \, dx = F(2) - F(0) = 2^2 - 0^2 = 4
\]
Вывод
Закон Ньютона-Лейбница демонстрирует связь дифференцирования и интегрирования, что делает его центральным понятием анализа.