Какие из приведенных ниже интегралов вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям?

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Интегрирование (методы интегрирования, интегрирование по частям)

Решение

Формула интегрирования по частям:
\int u \, dv = uv - \int v \, du

Рассмотрим каждый интеграл:

1. \int \frac{\arctg x}{1+x^2} dx

   • Здесь присутствует выражение \frac{1}{1+x^2}, которое является производной \arctg x. Это позволяет использовать подстановку, а не интегрирование по частям.
   • Не подходит.

2. \int \frac{\sqrt{\arctg x}}{1+x^2} dx

   • Аналогично первому случаю, можно использовать подстановку t = \arctg x.
   • Не подходит.

3. \int \arctg x \, dx

   • Здесь удобно выбрать u = \arctg x, а dv = dx, так как производная \arctg x хорошо известна.
   • Подходит.

4. \int \frac{dx}{\arctg x (1+x^2)}

   • Здесь сложно выделить два множителя u и dv, которые привели бы к удобному виду. Скорее всего, используется подстановка.
   • Не подходит.

5. \int x \arctg x \, dx

   • Здесь удобно взять u = \arctg x, а dv = x dx, так как интеграл \int x dx легко вычисляется.
   • Подходит.

Ответ:

Интегралы, которые вычисляются с помощью метода интегрирования по частям:
3 и 5.