Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле разбить на три области

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы (двойные интегралы), изменение порядка интегрирования

Задание:

Дан повторный интеграл:

 \int_{-1}^{0} dx \int_{-8x^2}^{-2x+6} f(x, y) \, dy 

Требуется:

1. Изменить порядок интегрирования
2. Разбить область на три части
3. Записать уравнение той кривой или прямой, которую встречаем при выходе из области интегрирования

Шаг 1: Геометрическая интерпретация области интегрирования

У нас есть интеграл по области, заданной в виде:

 -1 \le x \le 0, \quad -8x^2 \le y \le -2x + 6 

Это означает, что область интегрирования — это множество точек (x, y), таких что:

 -1 \le x \le 0 
и
 -8x^2 \le y \le -2x + 6 

Рассмотрим графики функций:

• y = -8x^2 — парабола, ветви вниз
• y = -2x + 6 — прямая

Найдем точки пересечения этих двух графиков, чтобы определить границы изменения переменной y:

Решим уравнение:

 -8x^2 = -2x + 6 

Умножим обе части на -1:

 8x^2 = 2x - 6 
 8x^2 - 2x + 6 = 0 

Найдем дискриминант:

 D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6 = 4 - 192 = -188 

Так как дискриминант отрицательный, графики не пересекаются. Это означает, что на отрезке x \in [-1, 0] прямая и парабола не пересекаются, но одна из них всегда выше другой.

Проверим при x = -1:

• y_1 = -8(-1)^2 = -8
• y_2 = -2(-1) + 6 = 2 + 6 = 8

Значит, при x = -1 прямая выше параболы

Проверим при x = 0:

• y_1 = -8(0)^2 = 0
• y_2 = -2(0) + 6 = 6

Опять прямая выше. Значит, на всём промежутке x \in [-1, 0] прямая выше параболы, и область ограничена сверху прямой, снизу параболой.

Шаг 2: Построение области и определение границ при переходе к интегрированию по y первым

Переходим к изменению порядка интегрирования. Для этого нужно выразить x через y.

Исходные границы:

• x \in [-1, 0]
• y \in [-8x^2, -2x + 6]

Найдем проекцию области на ось y:

При x = -1:

• y_{\min} = -8(-1)^2 = -8
• y_{\max} = -2(-1) + 6 = 8

При x = 0:

• y_{\min} = -8(0)^2 = 0
• y_{\max} = -2(0) + 6 = 6

Таким образом, область проецируется на y \in [-8, 8]

Но важно понять, что не при всех y из этого отрезка область существует. Нужно найти, для каких y можно выразить x из неравенств:

 -8x^2 \le y \le -2x + 6 

Шаг 3: Найдём границы по y, где меняется вид области

Найдем, при каких значениях y парабола y = -8x^2 и прямая y = -2x + 6 имеют общие x. Мы уже выяснили, что они не пересекаются, но при фиксированном y, границы по x могут меняться.

Рассмотрим уравнения:

• y = -8x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-y/8} (возможно, если y \le 0)
• y = -2x + 6 \Rightarrow x = (6 - y)/2

Мы можем найти границы изменения x при фиксированном y.

Шаг 4: Разбиваем область на три части

Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно выразить область в виде:

 \int_{a}^{b} dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) dx 

Рассмотрим три части:

1. Часть 1: y \in [-8, 0] — здесь существует только нижняя граница y = -8x^2, т.е. x = \pm \sqrt{-y/8}

   Но из исходного ограничения x \in [-1, 0], мы берём только отрицательное значение:

    x \in [-\sqrt{-y/8}, 0] 

2. Часть 2: y \in [0, 6]

   Здесь:

   • нижняя граница: y = -8x^2 \Rightarrow x = -\sqrt{-y/8} — но не определена при y > 0, значит, парабола уже не участвует
   • верхняя граница: y = -2x + 6 \Rightarrow x = (6 - y)/2

3. Но x \in [-1, 0], так что:

    x \in [-1, (6 - y)/2] 

4. Часть 3: y \in [6, 8]

   Здесь прямая y = -2x + 6 даёт:

   x = (6 - y)/2

   Но при y > 6 это значение становится отрицательным, и у нас всё ещё x \in [-1, 0], так что:

    x \in [-1, (6 - y)/2] 

Шаг 5: Новый вид интеграла (изменённый порядок)

Итак, область разбивается на три части:

1. Для y \in [-8, 0]:

    \int_{-8}^{0} dy \int_{-\sqrt{-y/8}}^{0} f(x, y) dx 

2. Для y \in [0, 6]:

    \int_{0}^{6} dy \int_{-1}^{(6 - y)/2} f(x, y) dx 

3. Для y \in [6, 8]:

    \int_{6}^{8} dy \int_{-1}^{(6 - y)/2} f(x, y) dx 

Ответ:

Новый порядок интегрирования:

 \int_{-8}^{0} dy \int_{-\sqrt{-y/8}}^{0} f(x, y) dx + \int_{0}^{6} dy \int_{-1}^{(6 - y)/2} f(x, y) dx + \int_{6}^{8} dy \int_{-1}^{(6 - y)/2} f(x, y) dx 

Уравнения кривых, ограничивающих область:

• Парабола: y = -8x^2
• Прямая: y = -2x + 6

Если нужно, могу нарисовать схему области.