Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (кратные интегралы)

Дан повторный интеграл:

 \int\limits_0^1 dx \int\limits_{-1}^{x^2+1} f(x,y) \, dy. 

1. Определим область интегрирования

Область интегрирования задана условиями:

• ( x ) изменяется от ( 0 ) до ( 1 ).
• Для фиксированного ( x ), переменная ( y ) изменяется от ( -1 ) до ( x^2 + 1 ).

То есть область ( D ) определяется неравенствами:
 0 \leq x \leq 1, \quad -1 \leq y \leq x^2 + 1. 

2. Выразим область в другом порядке

Найдем границы для ( y ). Видно, что ( y ) принимает значения в диапазоне:
 -1 \leq y \leq 2. 

Теперь выразим ( x ) через ( y ). Из условия ( y \leq x^2 + 1 ) получаем:
 x^2 \geq y - 1. 
Следовательно,
 x \geq \sqrt{y - 1}, \quad x \leq 1. 

Так как ( x^2 ) определено только при ( y - 1 \geq 0 ), то есть ( y \geq 1 ), область делится на две части:

• При ( -1 \leq y \leq 1 ), ( x ) изменяется от ( 0 ) до ( 1 ).
• При ( 1 \leq y \leq 2 ), ( x ) изменяется от ( 0 ) до ( \sqrt{y - 1} ).

3. Запишем интеграл в новом порядке

Перепишем интеграл с измененным порядком интегрирования:

 \int\limits_{-1}^{1} dy \int\limits_{0}^{1} f(x,y) \, dx + \int\limits_{1}^{2} dy \int\limits_{0}^{\sqrt{y - 1}} f(x,y) \, dx. 

Таким образом, измененный порядок интегрирования дал два интеграла, соответствующих разным областям.