Изменить порядок интегрирования для двойного интеграла

Определение предмета и раздела

Это задание относится к высшей математике, разделу многомерные интегралы (кратные интегралы). Конкретно здесь нужно изменить порядок интегрирования для двойного интеграла.

Дано:

Интеграл: \[ \int_0^1 \int_{\frac{y^2}{2}}^{\sqrt{3 - y^2}} f(x, y) \, dx \, dy \]

Задача:

Изменить порядок интегрирования.

Решение:

1. Определение области интегрирования

Область интегрирования определяется заданными пределами:

• \( y \in [0, 1] \),
• \( x \in \left[\frac{y^2}{2}, \sqrt{3 - y^2}\right] \).

Теперь мы исследуем, как выглядит эта область в декартовой системе координат.

• Нижний предел для \( x \): \( x = \frac{y^2}{2} \),
• Верхний предел для \( x \): \( x = \sqrt{3 - y^2} \).

Для \( y\), пределы равны \( 0 \leq y \leq 1 \).

2. Построение границ области

Границы, заданные пределами, это:

1. \( x = \frac{y^2}{2} \) — парабола.
2. \( x = \sqrt{3 - y^2} \) — полуокружность радиуса \(\sqrt{3}\) (левая половина окружности).

Область ограничена:

• слева — кривой \( x = \frac{y^2}{2} \),
• справа — кривой \( x = \sqrt{3 - y^2} \),
• снизу — прямой \( y = 0 \),
• сверху — прямой \( y = 1 \).

3. Изменение порядка интегрирования

При изменении порядка интегрирования нужно определить новые пределы для \( x \) и \( y \):

1. \( x \) изменяется от минимального значения до максимального:
   • \( x \in \left[0, \frac{3}{2}\right] \) (граничное значение для \( x \), где пересекаются \( x = \frac{y^2}{2} \) и \( x = \sqrt{3 - y^2} \)).
2. Для фиксированного \( x \), \( y \) изменяется:
   • Снизу: \( y = \sqrt{2x} \) (из уравнения \( x = \frac{y^2}{2} \)),
   • Сверху: \( y = \sqrt{3 - x^2} \) (из уравнения \( x = \sqrt{3 - y^2} \)).

Теперь порядок меняется.

4. Новый интеграл

Интеграл с новым порядком записи: \[ \int_0^{\frac{3}{2}} \int_{\sqrt{2x}}^{\sqrt{3 - x^2}} f(x, y) \, dy \, dx. \]

Ответ:

При изменении порядка интегрирования, новый выраженный интеграл:

\[ \int_0^{\frac{3}{2}} \int_{\sqrt{2x}}^{\sqrt{3 - x^2}} f(x, y) \, dy \, dx. \]