Изменение порядка интегрирования в данном двойном интеграле

Предмет: Математика

Раздел: Многомерный анализ, кратные интегралы

Задача состоит в изменении порядка интегрирования в данном двойном интеграле.

Дан интеграл:  \int\limits_{0}^{4} \int\limits_{\frac{x}{2} + 1}^{7 - x} f(x, y) \, dy \, dx 

Шаг 1. Определение области интегрирования

Рассмотрим пределы интегрирования:

• Внешний интеграл по переменной x: от 0 до 4.
• Внутренний интеграл по переменной y: от \frac{x}{2} + 1 до 7 - x.

Значит, область интегрирования задается неравенствами:  0 \leq x \leq 4, \quad \frac{x}{2} + 1 \leq y \leq 7 - x. 

Шаг 2. Перепишем область в виде ограничений для y и x

1. Для фиксированного y найдем соответствующие пределы для x.
   Из неравенств \frac{x}{2} + 1 \leq y и y \leq 7 - x выразим x:

   • Из первого: x \geq 2(y - 1).
   • Из второго: x \leq 7 - y.

2. Таким образом, для фиксированного y переменная x изменяется в пределах:  2(y - 1) \leq x \leq 7 - y. 

3. Теперь определим пределы для y.
   Так как x изменяется от 0 до 4, минимальное и максимальное значение y находятся из пересечения:

   • При x = 0: y \geq 1.
   • При x = 4: y \leq 7 - 4 = 3.

4. Значит, y изменяется в пределах:  1 \leq y \leq 3. 

Шаг 3. Новый порядок интегрирования

Теперь мы можем записать интеграл с измененным порядком интегрирования:  \int\limits_{1}^{3} \int\limits_{2(y - 1)}^{7 - y} f(x, y) \, dx \, dy. 

Ответ:

Интеграл с измененным порядком интегрирования:  \int\limits_{1}^{3} \int\limits_{2(y - 1)}^{7 - y} f(x, y) \, dx \, dy.