Исследуйте интеграл на сходимость

Условие:

Исследуйте интеграл на сходимость

Решение:

Это задание относится к математике, а более точно к разделу математического анализа, связанному с определенными интегралами и исследованию их сходимости. Дан интеграл от 0 до плюс бесконечности от функции sin^2(x)/x dx. Необходимо исследовать данный интеграл на сходимость. Это означает, что мы должны определить, сходится ли значение этого интеграла к конечному числу или же расходится, стремясь к бесконечности. Чтобы решить это задание, мы воспользуемся критериями сходимости интегралов. Один из них — признак сравнения. Мы можем сравнить данный интеграл с интегралом от функции, сходимость которого нам известна, и который является "большим" или "малым" в сравнении с исходным в тех областях, которые вызывают сомнения в сходимости. Интеграл от функции sin^2(x)/x несобственный, так как верхний предел интегрирования стремится к бесконечности. Сходимость такого интеграла часто зависит от его поведения при стремлении x к бесконечности. Рассмотрим функцию 1/x для больших значений x. Заметим, что поскольку sin^2(x) всегда меньше или равен 1, следовательно sin^2(x)/x всегда меньше или равен 1/x для x > 0. Теперь рассмотрим сходимость интеграла от 1/x на интервале от 1 до плюс бесконечности: ∫[1,∞] 1/x dx Этот интеграл — классический пример расходящегося интеграла, легко вычисляемый: ln|x| от 1 до ∞ = ∞ - ln(1) = ∞ Так как самый "проблемный" участок нашего исходного интеграла (при больших значениях x) ведет себя подобно функции 1/x, и мы выяснили, что интеграл от 1/x расходится, то и наш исходный интеграл также расходится. Однако не стоит забывать о поведении интеграла вблизи нуля. Несмотря на то, что функция sin^2(x)/x не определена при x=0, её предел при x стремящемся к 0 равен 0, благодаря чему интеграл в окрестности нуля не вызывает сомнений в сходимости. Таким образом, мы приходим к выводу, что данный интеграл расходится из-за его поведения при стремлении к бесконечности.